sinh und cosh im kopf

Wozu unser Gehirn in der Lage ist zeigen nicht nur phantastische Gedächtnisleistungen, sondern auch Spitzenfähigkeiten z.B. beim Kopfrechnen. Über diesbezügliche Techniken und Leistungen wird hier diskutiert.

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fill
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sinh und cosh im kopf

Beitrag von fill »

hallo ^^
Also ich wollt mal Fragen ob Jemand von euch weiß wie man
die hyperbel funktionen im kopf berechnen kann ?
Weil ich weiß ja schon wie man sin und cos im kopf berechet.
Weiß jemand wie man das mit sinh bzw. cosh macht ?

schonmal danke im vorraus
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proclaimer
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Beitrag von proclaimer »

dieser thread ist zwar schon sehr lange her, aber ich habe gerade nichts zu tun und vielleicht interessierts ja wen.

berechnung von sinh(x)

zuerst: sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

wenn x sehr groß ist, dann ist sinh(x) ~ e^x / 2
wenn x sehr klein ist, dann ist sinh(x) ~ -e^(-x) / 2

in fällen dazwischen muss man beide terme berücksichtigen.
in jedem fall muss man die e-Funktion im Kopf ausrechnen.

je nach genauigkeitsanspruch muss mich sich nach meiner methode eine natürlich logarithmus-tabelle auswendig lernen, und zwar folgende: (für den anfang reichen vielleicht die ersten drei ziffern; der einfachheit wurde jeder wert mit 100 multipliziert, weil man (ich) damit leichter im kopf umgehen kann, weil man sich nicht mit dem komma herumschlagen muss)

ln(1) = 0
ln(2) = 69
ln(3) = 110
ln(4) = 139
ln(5) = 161
ln(6) = 179
ln(7) = 195
ln(8) = 208
ln(9) = 220
ln(10)= 230

ln(1.1) = 10
ln(1.2) = 18
ln(1.3) = 26
ln(1.4) = 34
ln(1.5) = 41
ln(1.6) = 47
ln(1.7) = 53
ln(1.8) = 59
ln(1.9) = 64

ln(1.01) = 1
ln(1.02) = 2
ln(1.03) = 3
ln(1.04) = 4
...
ln(1.09) = 9

Wenn man diese Zahlen kennt, kann man eine e-Funktion folgendermaßen ausrechnen:

e^(ln(x)) = x
die ln(x) werte für die x kennt man ja schon durch die tabelle.

gleich ein beispiel:
e^(25.7) = ?
Weil oben in der Tabelle mit 100 multipliziert wurde, muss das auch mit dem Argument von der e-Funktion passieren 25.7*100 = 2570

Schritt 1: Wie oft ist 2570 ganzzahlig durch ln(10) = 230 teilbar?
Antwort 11 mal. 11*230 = 2530, gibt 40 Rest.
daher weiß man, dass es in der größenordnung 10^(11) ist.

Schritt 2: nun muss aus der ln(1) - ln(10) Tabelle ausgewählt werden:
Welcher Wert daraus nähert 40 von unten am besten an?
Antwort: ln(2) = 69 ist zu groß, daher ln(1) = 0;
die erste ergebnisziffer ist damit: 1

Schritt 3: Welcher Wert aus der ln(1.1)-ln(1.9) Tabelle nähert 40 von unten am besten an? Antwort ln(1.4) = 34.
Das bisherige Ergebnis 1 muss deshalb mit 1.4 multipliziert werden:
1 * 1.4 = 1.4, das neue ergebnis; 40-34 = 6 ist der neue Rest

Schritt 4: Welcher Wert aus der ln(1.01)-ln(1.09) Tabelle nähert 6 am besten an? Antwort ln(1.06)=6
das neue ergebnis ist ergebnis aus vorherigem schritt 1.4 multipliziert mit 1.06 = 14*106/1000 = 1484/1000 = 1.484

Insgesamt erhält man also 1.484*10^11
signifikant werden wahrscheinlich nur die ersten zwei nachkommaziffern sein, also rundet man auf: 1.48*10^11
das wahre ergebnis liegt bei 1.45, also gar nicht so schlecht.

will man größere genauigkeiten muss man sich nach der rechnung mehr ziffern für jeden einzelnen logarithmus merken, und auch tabellen für kleinere werte ln(1.001)-ln(1.009) etc. merken.
fill
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Beitrag von fill »

Danke !!

ich weiß is ein bisschen spät aber .... ^^
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