Vierte und fünfte Potenz: wie rechnet Ihr die?

Wozu unser Gehirn in der Lage ist zeigen nicht nur phantastische Gedächtnisleistungen, sondern auch Spitzenfähigkeiten z.B. beim Kopfrechnen. Über diesbezügliche Techniken und Leistungen wird hier diskutiert.

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RetoCH
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Vierte und fünfte Potenz: wie rechnet Ihr die?

Beitrag von RetoCH »

Hallo zusammen

Wie berechnet Ihr die viert eund fünte Potenz? Durch fortlaufendes Multiplizieren (wie Wim Klein in http://video.google.co.uk/videoplay?doc ... 9759629434) oder über Quadrieren und weiteres Quadrieren?

Derzeit ist bei der dritten Potenz Schluss für mich, düe höheren lassen sich nicht mehr so bequem vereinfachen.

:shock:

Bin gespannt auf Eure Ideen
fill
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Beitrag von fill »

also ich rechne so :
x^4 = x^2^2
Bsp.:
23^4=23^2^2=529^2=297841
^4 ist das höhste was ich bei 2 stelligen zahlen schaffe ...
^3 würde ich so rechnen:
x^3=x^2*x
23^3=23^2*23=1267
-i/1 = -i
1/-i = i
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@fill

Von "schaffen" würde ich jetzt aber noch nicht sprechen, oder ...?

23^4 = 279841 und
23^3 = 12167

grüße
fill
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Beitrag von fill »

ups ^^
muss ich wohl noch ein bisschen üben ^^
war aber auch etwas aus der übung weil ich in den ferien fast nur weg war...
werd jetzt aber mehr üben :oops: :lol:
-i/1 = -i
1/-i = i
RetoCH
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Dritte Potenz berechnen

Beitrag von RetoCH »

Eine der Methoden, das Quadrieren und dann Multiplizieren zu umgehen, funktioniert so:

Basis bestimmen, das ist eine Grundzahl ohne die Einer

22^3

Basis= 20

20^3 (8000) plus
20^2 mal 3 mal die Einer (400*6= 2400)
20 mal (3 mal die Einer* einmal die Einer) (=20*12)(=240)
2^3 (8)

Die Summe ergibt dann die dritte Potenz.

Bei den höheren Potenzen gibt es keine so einfache Zahl vor dem binom mehr wie 3 und 3, darum scheint dort die Methode "addiere x mal die Einer zur Zahl und rechne mit dem Resultat weiter) nicht mehr zu funktionieren.

Gibt es einen Weg, dies zu umgehen?
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

Hallo RetoCH

Zu Deiner Berechnung einer Kubikzahl möchte ich einige kleine Anmerkungen machen.

So wie Du sie am Beispiel erläuterst, kommst Du auf 4 Summanden.
Ron Doerfler gibt eine Formel mit 3 Summanden an, wobei er
Deinen richtigen und vernünftigen Ansatz
22^3 = (20+2)^3 benutzt. So sieht sie aus :
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

Bei Ferrol habe ich eine (geringfügige) bessere Formel gefunden,
wobei man als Ansatz
22^3 = (10a + b)^3
benutzt. Hier ist a und b einstellig.(Zufällig a=b=2).

Hier die Formel :

(10a+b)^3 = 3ab(10a+b)*10 + (10a)^3 + b^3

Diese Formel ist etwas "kopfgerechter":
a) mit dem entscheidenden Term beginnt man die Kopfrechnung !
b) die beiden letzten Summenden sind mehr "unbewußtes Rechnen".Man sieht das ein bißchen.
Deshalb gaaaaaanz am Ende machen !
c) das "*10" bewußt am Ende des 1.Terms

Die Formel angewendet auf Dein Beispiel ergibt :

(10*2+2)^3 = 3*2*2*(22)*10 + 20^3 + 2^3
= (12*22)*10 + ... (Rest vorerst uninteressant)
= 264 * 10 + ....
= 2640 + 8000 + 8
Die beiden letzten Summanden sollte man nicht von Beginn an im Kopfe herumtragen !

= 10648

(Ron Doerfler gibt das Beispiel 23^3. Leider (so wie es aussieht) schleppt
er von Beginn seiner Rechnung 8027 mit rum. Nicht empfehlenswert. )

Als ich Dein Beispiel sah, dachte ich mit 22^3 = 2^3 * 11^3 schneller zu sein.
Einfach, weil man mit 11 gut multiplizieren kann. Das geht schon, aber
meine Faktoren sind größer als bei Dir. Auch 77^3 = 7^3 * 11^3
brachte keinen nennenswerten Vorteil.

Ob eine Primfaktorzerlegung überhaupt
Sinn macht, weiß ich nicht. Auf alle Fälle ist

16^3 = (2^4)^3 = 2^12 = 4096

entschieden scheller.

Auch Quadratzahlen würde ich nicht rigoros ablehnen, weil
25^3 = 625 * 25 = 15625
recht zügig geht.(Mit 25 kann man auch gut multiplizieren).

Übrigens sieht man an obiger Formel, daß man "im Kern" eigentlich nur zwei
zweistellige Zahlen miteinander zu multiplizieren hat. Kann man das gut,
so kann man recht schnell die Kubikzahlen berechnen.

Nun zu den hohen Potenzen 4,5, ...

Damit habe ich mich im Detail noch nicht mit beschäftigt, aber als
Ansatz würde ich versuchen, ob man bei der 4., 5. ..Zeile des
Pacalschen Dreiecks auch eine geschickte Ausklammerung vornehmen kann,
evtl. Terme zusammenfassen, etc.
Wenn ich da etwas habe / finde melde ich mich.

grüße zeta3
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

Hallo RetoCH,

ich habe etwas gefunden bei Pernt (1915). Ich hatte es Dir ja versprochen.
Der kleine Trick ist Dir sicherlich nicht neu, aber vielleicht interessiert es jemanden.

Schreibt man die 8-te Zeile im Pascal-Dreieck mit Dörfler-Notation, dann
kann man 11^8 sofort hinschreiben : ("melt" von rechts nach links !) :

1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 = und jetzt zusammenfassen a la Dörfler ("melting process !")
214358881 = 11^8

Hübscher Trick. Einfacher Kniff. War mir in dieser Form nicht bekannt.

grüße
zeta3
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Hallo Zeta

Danke für den Input, diesen Trick habe ich sogar selber "gesehen" beim Brüten über den Potenzen. Für alle Zahlen jenseits der x1 muss man das Resultat mit Potenzen verrechnen, was den Rechnungsablauf erschwert (Beispiel folgt später).

Schade gelingt es nicht, einfach ein Dreieck für jede Zahl zu konstruieren.
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Bei anderen Zahlen muss man den zweiten Binomwert mit dem Wert der Einer, den dritten mit dem Quadrat davon etc. berechnen.

Ein Beispiel für 12^4:

Verwendetes Binom: 1 4 6 4 1

1 mal 10^4 (10`000)
4 mal 10^3 *2 (8000)
6 mal 10^2*4 (2400)
4 mal 10*8 (320)
plus 2^4

Gibt das Resultat 20`736.
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

Hallo RetoCH,

vielen Dank für Dein Beispiel. Ich habe da noch ein anderes Beispiel in der
Literatur gefunden, dass für Dich interessant sein könnte. Eventuell !
Ich muß es noch eintickeln, damit die Zahlen hübsch untereinender stehen.
Also noch etwas Geduld bitte. Richtung : große Basis, 3-te Potenz.

Ich habe mal nebenbei eine Frage :

Worum geht es genau beim Potenzieren ?

1- bis 2-stellige Basis möglichst hoher Potenz o d e r
3-,4-,5- ... stellige Basis mit "bescheidener" Potenz im Kopf zu berechnen ?

Ich meine, was ist derzeit "gefragt" bezw. "demonstriert" ?
Wie sehen die aktuellen "Performancezeiten" aus ?
Wenn man die 50-te Potenz kann, heißt das auch, dass man die 47-te kann ?

An sich kann ich mir vorstellen, daß die 4-te Potenz bei 2-stelligen Zahlen
recht flott gehen könnte, wenn man 4X4-Zahlen mittels Kreuz-Multiplikationen
gut kann. Zumal die 4-stelligen Zahlen gleich sind.

Und die 5-te Potenz von 2-stllg. Zahlen ginge auch noch mit Kreuz-Multiplikation, wenn man
das "Papierstreifchen von Monsieur Fourier" mit der 2-stelligen Zahl
von rechts nach links sukzessive verschiebt. Natürlich muß man sich das
Zwischenergebnis (=4-te Potenz, 8-stellig) merken.).
OK, ein bißchen Theorie, die Übung fehlt mir allerdings (da bin ich ehrlich.)

viele grüße
zeta3
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Hallo Zeta3

Danke fürs Engagement! Gerne schaue ich dann das erwähnte Beispiel nach, eventuell gibt es noch einen anderen Weg?

Angefangen hat bei mir die Fragestellung mit einigen Clips über Rüdiger Gamm und seiner unverfänglichen Aussage, er könne die gelernten Zahlen miteinander kombinieren. Das fand ich genug faszinierend um diesen Weg zu suchen. Derzeit legt sich mir der Schluss nahe, es gehe nicht und auswendiglernen bleibt als einziges Mittel, höheren Potenzen Herr zu werden.

Wohin also damit?
Nun, es sollte möglich sein, zB. dreistellige Zahlen einiges weiter als die dritte Potenz zu bekommen und eventuell sogar Vierstellige. Das ist eine nahezu unlösbare Kopfrechenaufgabe, darum fasziniert es mich, erstmal den Weg zur Lösung zu finden. Zweisteller bis hoch 100 (200?) demonstriert Rüdiger Gamm, eine Meisterleistung des Gedächtnisses. Es gibt da keinerlei offizielle Listen oder so, ich möchte gewisse Aufgabentypen einfach genug verstehen, um reale Chancen zu haben (auch etwas durch einen Viersteller teilen ist herausfordernd...).

Speziell bei den Potenzen hat mir eine Recherche gezeigt, die Dinger sind resistent gegen Rechenvorteile, es findet sich in der dank Google dokumentierten Literatur kaum ein Hinweis, der weiter geht als "es wird einfach weiter multipliziert".

Die einzigen Hinweise auf Muster, die sich fanden, gehen von rechts nach links.

:D
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

Hallo RetoCH,

hier das versprochene Beispiel.

Zur Erinnerung :

(10a+b)^3 = 1000a^3 + b^3 + 3*10a*b*(10a+b)

Ferrol (1913) hat das Beispiel von Fritz Stiegler, Linz.

Ab jetzt Zitat :

"Er (Stiegler) läßt z.B. in 27389^3 a nacheinander die Werte
2, 27, 273, 2738 annehmen, und setzt unter Ausnützung der durch
unser Zahlensystem gegebenen Vorteile als erstes die 3.Potenzen
der einzelnen Ziffern, zunächst also a^3 die 8 und dann die einzelnen
b^3 ihrem Stellenwert entsprechend hintereinander, sodaß nur noch
die einzelnen
30*a*b*(10a+b)

systematisch zu addieren sind. Also z.B 27389^3 ergibt :

(Die ..... sind nur für das Untereinanderstehen der Zahlen !!!)

Ich gebe es auf : Es ist die reinste Katastrophe hier zwei Zahlen gescheit
untereinander zu bringen !!

RetoCH (ich appelliere an Dich !!)- ich denke Du verstehst es auch so. Sonst mail ich es Dir bei Gelegenheit auf anderem Wege!


.............................................2....7.....3.....8.....9

..........................................-------------------------------
a^3 und bzw b^3 =.............|..8 | 343 | 027 | 512 | 729 |
..........................................|-----......|........|.......|........|
3*20*7*27....(a=20;b=7).....| 11...340 |.......|.....|......|
..........................................|----------|.......|.....|......|
3*270*3*273..(a=270;b=3)..|......663...390 |.....|......|
..........................................|---------------........|......|
3*2730*8*2738...................|......179...393...760.|......|
............................|----------------------|......|
3*27380*9*27389.............|.......20...247...592...140..|
|------------------------------

Summe :..........27389^3..=...20...546...058...864...869

Die Summe der durch ein Rechteck eingeschlossenen Zahlen liefert
jeweils den Kubus der darüberstehenden Zahl." (Zitatende, modulo Tippfehler !)

Ein hübsches Beispiel für die 9-er und 11-er Probe.

Ich habe Respekt vor jemandem, der das im Kopf schafft. Die 5.Zeile ist
definitiv zu groß für mich !

Deine Beispiele, RetoCH, sind nahe dran an diesem
Schema, wenn Du die "00..0" etwas mehr beiseite läßt.(Finde ich)

Vielleicht hat jemand hier im Forum eine etwas mehr "kopfgerechte"
Vorgehensweise. Bin gespannt auf die Kommentare !

viele grüße
zeta3

(Bin jetzt 4 Wochen weg. Kann also erst später antworten.)
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Schade bist du derzeit weg, das ist ein sehr spannender Input!

Diese Texte von Ferrol muss ich unbedingt im Original lesen, eventuell finde ich noch andere Hinweise, Zusammenhänge etc.

Da sich diese Methode auf die bestehende Zahl stützt und damit arbeitet, scheint sie mir für höhere Zahlen deutlich einfacher als eine solche Zahl in ein mehrstelliges "a" und "b" aufzusplitten und damit die BInome zu berechnen.

Die verknüpfte "3" kann für eine vierte Potenz leider nicht einfach auf "4" erhöht werden, dann wäre es das Ei des Kolumbus gewesen.

Praktisch geht es mir wie dir, da ist derzeit bei etwa 6 Zahlen der "Speicher" ausgelastet.
:P
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Zerah Colburn konnte ebenfalls beachtlich hoch potenzieren (Smith, The great mental calculators, 1983, S. 191):

"...this child undertook, and completly succeeded in, raising the numer 8 progressively up to the sixtenth power!!! and in naming the result, viz. 281,474,976,710,656, he was rigth in every figure. He was then tried as to other numbers, consisting of one figure; all of which he raised (by actual multiplication and not by memory) as high as the tenth power, with so much facility and dispatch that the apponted to take down the results, was obliged to enjoin him not so be rapid! With respect to numbers consisting of two figures, he would raise some of them to the sixth, seventh, and eighth power; but not always with equal facility: for the larger the products became, the more difficult he found it to proceed."
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

Hallo RetoCH,

steht in dem Buch auch etwas über die Methode von Zerah ?
Bei Potenzen die selbst 2-er Potenz sind (also 4-8-16-32) hat man den "kleinen" Vorteil,
daß man sich keine (weiteren) Zwischenergebnisse merken muß, gleichwohl muß man sich
ein mehrstelliges Ergebnis merken. Schon grandios, was der kleine Zerah kann.

Man kann es drehen und wenden wie man will, RetoCH. Wenn man keinen vernünftigen "Kniff"
hat, läuft alles bei hohen Potenzen darauf hinaus, daß der liebe Gott eine fehlerfreie
Kopfmultiplikation mit sehr großen Zahlen sehen will (und ein brauchbares Memory). Da passe ich.

Woher hast Du denn das Buch ? Ich dachte, es ist vergriffen.
Stehen da auch konkrete Methoden drin oder nur das übliche drumherum (der/die hat dort das und das gezeigt) ?

viele grüße
zeta3

PS : Ich habe noch eine Formel für die 5-te Potenz bei 2-stelligen Zahlen aufgestellt.
In Anlehnung zu der oben angegebenen 3-ten Potenz. Falls Du Interesse hast tickele ich
sie ein.
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

Hallo Zeta3

Schön bist du zurück- und nimmst dir die Mühe, hier weiter zu fahren :D. Es scheint wirklich so, wie du schreibst, der Rechenweg von Rüdiger Gamm mit Zusammensetzen wirkt eher seltsam. So ziehe ich nach einigen Monaten den gleichen Schluss wie du. Ja gerne, gib mir doch deine Formel noch an
:D .

Das Buch von Smith enthält die ersten technischen Hinweise und war bis Dörfler die beste Referenz fürs Kopfrechnen, es enthält nach wie vor die ausführlichsten Angaben zum Leben früherer Kopfrechner. Wie es ein Mathematikbuch jener Zeit salopp sagt, potenzieren sei wie multiplizieren einfach fortgesetzt :roll: .

Also keine Hinweise, nur drei unglaubliche Angaben bezogen auf Potenzen.

Ob es mit mehreren Stunden pro Tag plötzlich automatisch würde?

RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

1998 war es noch nicht vergriffen :P
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@ RetoCH

Nein, nein, RetoCH. Du verstehst mich da total falsch !

Rüdiger Gamm´s Weg wirkt auf mich überhaupt nicht seltsam oder merkwürdig !!!
Erstens kenne ich seinen genauen Weg bei 5.ter Potenz gar nicht
und zweitens ( noch wichtiger !) :
Wenn man so gut multiplizieren kann wie er, was zum Teufel will man dann noch mit einer Formel ???
Dafür ist die 5-te Potenz wirklich zu klein und
"straightforward" das absolut natürlichste und naheliegendste !

( Der Rest bei 5-ter Potenz ist absolut reine Zahlenspielerei "Just for fun" Und nix anderes;
z.B. mein nächster Beitrag)

bis demnächst
viele grüße
zeta3
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

@Zeta3: Das klingt so, als multipliziere er das einfach hoch, auf die "Zahlenspielerei" bin ich gespannt.

Nein, wenn jemand sehr gut rechnen kann, braucht er keine Formeln zu pauken, da geb ich dir Recht.

Die fünfte kann er wohl seit 10 Jahren auswendig :roll:
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@RetoCH

Hier meine Formel :

Die 5-te Potenz von 2-stelligen Zahlen könnte man (KONJUNKTIV !) mittels
folgender Formel ausrechnen. :

(Es empfiehlt sich die 5-ten Potenzen der 1-stelligen Ziffern auswendig zu können.)

(10a+b)^5 = 50ab*(10a+b) * [b(10a+b) + (10a)^2] + (10a)^5 + b^5

z.B. 14 = 10a + b . Also a=1 und b=4

14^5 = 50*1*4*14 * [ 4*14+100] + 10^5 + 4^5

= 2800 * 156 + .......
= 436800 + 100000 + 1024

= 537824


Bei 73^5 müßte man das Produkt (1. Summand in der Formel) 76650*5119 lösen
Bei 83^5 wäre es : 99600 * 6649

Man könnte mit der Formel auch die 5-te Potenz (kleinerer) 3-stelliger Zahlen berechnen. (Ich nicht !)

Z.B. 127^5. In diesem Falle wäre a = 12 und b = 7 .

Der Produktterm in der Formel ergibt sich zu : 5334*15289*10^2

(modulo Tippfehler). Das ganze ist vielleicht mehr für ein halbschriftliches Verfahren geeignet.

Der kleine Vorteil -wenn überhaupt- liegt vielleicht darin, daß man nur 1 (!)
relativ kleine (?) Multiplikation ausführen muss.


Mir ist übrigens aufgefallen, REtoCH, daß es (naheliegende) 2-stellige Zahlen gibt,
bei denen man so gut wie gar nicht multiplizieren muß. Ich hatte ja oben schon 11^5 erwähnt.
Man kann deren 5-te Potenz "quasi direkt" aus der 5-ten Zeile des Pascal-Dreiecks ablesen.

Da Du Dich ja schon länger damit beschäftigst, kennst Du garantiert
alle diese Zahlen. Oder überrasche ich Dich etwa ?

(siehe meinen nächsten Beitrag)

viele grüße zeta3
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