Multiplikaion von zwei 4stelligen Zahlen

[Christoph-Ulrich]

Hi,
ich bin begeisteter Kopfrechner mit einer gewissen Vorliebe für Logarithmen.
Ich möchte fragen, wie man zwei 4stellige Zahlen miteinander multipliziert. Ist die Überkreuz-Methode die einzige und wenn ja, wie wende ich sie am besten an?

[Ante]

Hallo Christoph-Ulrich,

Hi,
ich bin begeisteter Kopfrechner mit einer gewissen Vorliebe für Logarithmen.
Ich möchte fragen, wie man zwei 4stellige Zahlen miteinander multipliziert. Ist die Überkreuz-Methode die einzige und wenn ja, wie wende ich sie am besten an?

ich beschäftige mich erst seit kurzem mit diesem Thema, und stehe eigentlich vor der selben Frage bzw. vor der Frage wie man am schnellsten 8-stellige Zahlen miteinander multipliziert. Das es mit der Kreuzmethode klappt hab ich selber schon ausprobiert. Ist eigentlich nicht so das Problem (wenn man konzentriert bei der Sache ist ). Nur wie kann man das schnell genug machen?

Das einzige was mir dabei eingefallen ist, daß man evtl. schneller ist wenn man nicht nur immer die einzelnen Stellen mit der Kreuzmethode ausmultipliziert, sondern immer mit 2-er Stellen.
Also z.B. 3465 x 6789 kann man auch so rechnen:

1. 65 x 89 = [57]85
2. (34 x 89) + (65 x 67) = 7381 + [57] = 7438 -> [74]3885
3. 34 x 67 = 2278 + [74] = 2352 -> 23523885

Es fallen einige Rechenschritte weniger an (wie wenn man nur 2-stellige Zahlen multipliziert), allerdings sind die halt auch etwas schwieriger

Ob man dadurch aber wirklich schneller wird, kann ich nicht sagen. Vielleicht gibt es auch noch ganz andere Wege um sowas auszurechnen. Interessant dazu wäre vielleicht ein kleiner Hinweis oder Tip von Jan van Koningsveld

Schöne Grüsse,
Ante.

[JanvK]

Hallo Christoph-Ulrich,


Nur wie kann man das schnell genug machen?

Das einzige was mir dabei eingefallen ist, daß man evtl. schneller ist wenn man nicht nur immer die einzelnen Stellen mit der Kreuzmethode ausmultipliziert, sondern immer mit 2-er Stellen..

Meine Erfahrung ist, dass einem die Kreuzmethode mit zwei Stellen gleichzeitig nur etwas bringt, wenn man 2 zweistellige Zahlen praktisch ohne zu rechnen miteinander multiplizieren kann, ansonsten ist die einstellige Methode schneller. Ich weiß nur von 2 Kopfrechnern, die die Kreuzmethode zweistellig anwenden können bzw. konnten.

Zunächst einmal ist es ratsam, die zu multiplizierenden Zahlen nicht nebeneinander, sonder untereinander zu schreiben. Danach ist sehr viel Training angesagt, einstellige Multiplikationen müssen ohne zu rechnen da sein. Als nächsten Schritt versuchen, Multitasking zu betreiben, d.h. sich die nächste Multiplikation bereits ansehen, während man noch Zwischenergebnisse addiert.

Mir hat dabei sehr geholfen, immer neue Unterkategorien zu entwickeln (z.B. Zahlen nur mit einsen und zweien), um immer wieder persönliche Rekorde aufstellen zu können und entsprechend die Motivation zu erhalten.

Es würde mich freuen, wenn ihr mal über eure Fortschritte berichtet.

Gruß
Jan

[Ante]

Hallo Jan,

vielen Dank für Deine sehr interessante Antwort! Also ich hätte ja fast wetten können, dass es neben der Kreuzmethode noch eine andere Art gibt, um solche Rechnungen schnell zu lösen. Ist aber demnach wohl doch nicht so.
Hatte aber heute schon ein kleines "Aha"-Erlebnis. Und zwar hab ich bisher immer erst eine Stelle ausgerechnet und danach erst einen eventuellen Übertrag dazuaddiert. Heute hab ich das mal umgekehrt gemacht, dass ich immer gleich vom Übertrag ausgegangen bin (ist ja auch logischer ). Und siehe da, wo vorher meine beste Zeit irgendwo über 5 Minuten gelegen ist, war ich heute bei ca. 170 Sekunden (allerdings mit einem kleinen Fehler drin...).
Tja ok, muss das wohl noch etwas öfters trainieren Aber ist auch glaub ich nicht so schlecht, da ich das ja erst seit ein paar Tagen mache (bin sonst eher am Gedächtnissport interessiert...).

Schöne Grüsse,
Ante.

[Ante]

Jetzt ist mir noch was eingefallen, und zwar hab ich noch eine Frage zu den Regeln bei der Multiplikation zweier 8-stelliger Zahlen.
Und zwar heisst es ja auf http://www.recordholders.org/de/list/memory.html#8x8, dass das Ergebnis durch bloßes Kopfrechnen erzielt werden muss, und der Rechner das korrekte Ergebnis der Multiplikation aufschreiben sollte.

Heisst das jetzt auch, dass ich zuerst das komplette Ergebnis im Kopf ausrechnen muss, und erst dann alle Ergebnisziffern hinschreiben darf, oder kann ich nachdem ich eine Stelle berechnet habe, diese auch gleich aufschreiben? Dürfte ja nicht in die Regel Auch dürfen keine Zwischenergebnisse notiert werden reinfallen, da sie ja schon Teil des Ergebnisses sind!?

Wenn mir das bitte jemand sagen könnte.

Vielen Dank,
Ante.

[JanvK]

Der Teil nach dem "oder" ist korrekt.

Jan

[Lesefaul]

Hallo,
ist zwar ein alter Thread, aber ich schreib trotzdem mal.

Hi,
ich bin begeisteter Kopfrechner mit einer gewissen Vorliebe für Logarithmen.
Ich möchte fragen, wie man zwei 4stellige Zahlen miteinander multipliziert. Ist die Überkreuz-Methode die einzige und wenn ja, wie wende ich sie am besten an?

Wow, Logarithmen. *Beneid*

Tja, ich kapier die Dinger gar nicht wirklich. Leider brauche ich das aber, da ich angefangen habe Informatik zu studieren.

Hast Du vielleicht einen Tipp für mich?
Literaturempfehlung?

Ich kapier zwar, das es die Umkehrfunktion der Exponentialfunktionist (Dank Wikipedia) aber mehr auch nicht.
Kann zwar ein paar Beispiele rechnen, aber nichts wirklich mit anfangen.

Wofür brauch ich die denn? Was kann man damit anfangen?
Wie kann man die im Kopf berechnen?

Wäre echt klasse, wenn mein Feuer auch dafür entfacht wird.

Gruß
--->Lesefaul

[Janko]

Ich kapier zwar, das es die Umkehrfunktion der Exponentialfunktionist (Dank Wikipedia) aber mehr auch nicht.

Naturwissenschaftliches Studium und keine Ahnung von Logarithmen, da müssen wir was machen.
Ich hatte in der 13 Klasse (Ja in MV gibt's 13 Klassen) einen Mathelehrer der es geschafft hatte einfache Dinge noch einfacher zu erklären. Die meisten von uns wussten damals darüber genau so viel bescheit wie du und so hatte er es uns kurz vorm Abi mal mit seinen Worten erklärt. Ich hoffe ich kriege ihn in Kurzfassung in etwa zitiert:
Also der Logarithmus ist nichts anderes als der Exponent. (Oder wie eine andere Lehrerin gesagt hatte: "Er ist der heruntergekommene Exponent") Wenn ihr also bei einer Gleichung den Exponent sucht dann könnt ihr das mit dem Logarithmus machen.
ZUm Beispiel: wie oft muss man 2 mit sich selbst multiplizieren damit 8 rauskommt
Also 2^x=8 (kann man schlecht schreiben, bedeutet: 2 hoch x = 8 )
Dann ist log(2) 8 =x (bedeutet: Logarithmus von 8 zur Basis 2 = x)
(...) Es gibt zum Logarithmus verschiedene Gesetze. Sie haben Ähnlichkeiten zu den Exponentialgesetzen (da der Logarithmus ja der Exponent ist)

Code: Alles auswählen

  (a^m)^n=a^(n×     m)
ln(a)m ^n=   n×ln(a)m

a^(      m+      n)=       a^m×a^n 
   log(a)m+log(a)n =log(a)(  m×  n)

Das Ganze was er erzählt hat hinkt natürlich und die letzten Zeilen sind auch keine Beweise, sondern sie sollen nur eher anschaulich machen, dass die Gesetze nicht einfach aus dem nichts auftauchen.

Wofür brauch ich die denn?

Am Häufigsten braucht man Logarithmusfunktionen wenn man bei Exponentialfunktionen den Exponenten sucht. Z.B.:
Eine Bakterie teilt sich einmal in einer Stunde. Nach welcher Zeit sind bei idealem Wachstum aus einer Bakterie 1000 Bakterien geworden?
Nach einem Jahrzehnt ist die Hälfte der radioaktiven Stoffe eines Isotops zerfallen. Wann beträgt die übrig gebliebene radioaktive Menge 1% des Ausgangsstoffes.
Mir fällt jedoch nur ein Beispiel ein bei dem die Logarithmusfunktion die "Ausgangsfunktion" ist: Unser Gehör verarbeitet die Lautstärke Logarithmisch. Als Skala wurde der zehner- oder dekadischer- Logarithmus genommen. Das heißt wenn ein Geräusch die 10 fache Energie hat, dann hören wir es subjektiv um 1b = 10db= zehn dezibel. Bei der 100fachen Energie wären es dann 20db.

Leider brauche ich das aber, da ich angefangen habe Informatik zu studieren.

Ich hab den nur mal als Zeitangabe für Algorithmen gesehen. Wo gibt's den denn außerdem?

Wie kann man die im Kopf berechnen?

Du kannst dir bei den wichtigsten Basen ein paar feste Werte merken und den Rest dann über die Gesetze herleiten
Beim Zehnerlogarithmus log(10) x auch geschrieben als lg x
lg 10=1
lg 2 =0,3 (Wenn man doppelt so laut schreit dann wird es subjektiv um nur 0,3b =3db lauter)
und vielleicht noch
lg 3=0,47
Den Rest kannst du dir über die Gesetze herleiten
z.B.
lg 5=lg10/lg2=0,7
Ein paar Anwendungsbeispiele die mir auf die Schnelle eingefallen sind:
Wieviel dB leiser wird es, wenn du von einer Schallquelle doppelt so weit weg stehst?
Der Schall breitet sich wie ein Luftballon aus der gerade aufgepustet wird. Verdoppelt man den Durchmesser vervierfacht man die Luftballonoberfläche. Die Energie muss sich also auf die vierfache Fläche verteilen. Folglich kann an einer Stelle, wie unser Ohr, auch nur noch ein viertel ankommen. Es wird also um lg4 leiser. lg4 = lg(2×2) = lg2+lg2 =0,6 Es wird also um 6 dB leiser.
Wieviel dB lauter wird es wenn du einen Lautsprecher von 50% Lautstärke auf 80% Lautstärke aufdrehst.
lg 50 = lg10+lg10-lg2=1,7
lg 80 = lg10+lg2+lg2+lg2=1,9
Die Differenz ist 0,2 Es wird also um 2 dB lauter.
Ein anderer wichtiger Logarithmus ist ln x. Das ist der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus zur Basis e. Der ist wichtig, weil bei diesem Logarithmus (wie bei e^x) viele Rechengesetze am kürzesten sind. Deshalb findet man bei vielen Naturgesetzen meist ln... oder e^... statt irgendeine andere Basis. Es gibt bei dem glaub ich aber nicht so glatte Werte wie bei lg 2=0,3. Deshalb dürften alle Kopfrechnungen komplizierter werden.
Deshalb zwei Lösungsvorschläge.
Der erste kam spontan:
Es gibt das Logarithmusgesetz:
Log (b)n=log(a)n/log(a)b
Und da der dekadische Logarithmus für das Kopfrechnen glaub ich eh am einfachsten ist nehmen wir für die Basis a die 10
Log (b)m=log(10)m/log(10)b
= lgm/lgb
Hast du jetzt wie bei ln die Basis e
ln m
=log(e)m
=lg m / lg e
Nun ist 1/lg e eine Konstante, die man ja auswendig lernen kann. Wenn du nun ln von m berechnen musst, brauchst du einfach zu rechnen
ln m = 2,3× lg m

der zweite Lösungsvorschlag:
Warum nicht lg m und ln m im Intervall von 1 bis 99 nach der SEM³ Methode lernen. Ich hatte mit dieser Methode den Sinus im Intervall von 1° bis 89° auf zwei Stellen nach dem Komma genau gelernt. Es ist bei so etwas auch nicht so schlimm wenn man mal eine Assoziation vergisst, dann nimmt man eine Gradzahl weniger und packt dann ein "bisschen" aufs Ergebnis drauf. Ich überlege zurzeit ob ich die Logarithmen auch noch nach der SEM³ Methode lernen werde. Ich finde die Methode beim Sinus oder bei Logarithmen besser, weil man ja dadurch meistens schneller ist, als wenn man das mit dem Kopf ausrechnet. Wie unser SEM³ Fan Florian ja schon geschrieben hat, ist es dann noch wichtig, dass man die Assoziationen regelmäßig wiederholt. Ich habe deshalb meine Memory Matrix in einer Exceltabelle und habe mir ein Programm geschrieben, dass mich die Matrix nach dem Leitner System abfragt.

[Lesefaul]

Wow, danke. *erschlagen*
*wiederaufrappel*

Ahh, so klingt es interessant. *Motivationundinteressegeweckt*

Werde es vermutlich nicht damit zum Gedächtniskünstler versuchen, aber es zu verstehen hilft.

Dank Dir.

Gruß
---> Lesefaul

[Janko]

Wow, danke. *erschlagen*
*wiederaufrappel*

Mhh lange her, dass ich jemanden erschlagen hab
und hey du hast doch viele schöne Beiträge in dieses Forum gestellt, dann kannst du auch mal erwarten, dass dir jemand einen kleinen Gefallen tut, also nichts zu danken

[Lesefaul]

Hallo,

langsam verstehe ich. Naja, man kann halt nicht innerhalb von ein paar Tagen einige Jahre Schule aufholen. Das ist mir klar.

Ich hänge noch ein bisschen bei den Wurzeln.
Die Gesetze habe ich halbwegs kapiert.

Nur habe ich so das Gefühl, das ich einige Potzenzen ziemlich gut Auswending können muss, damit man Wurzeln ziehen kann.

Ist das tatsächlich so?

Wie trainiere ich am besten diese Potenzen?
Welche Bereiche machen Sinn?

Ich will jetzt nicht unbedingt ein Gedächtniskünstler werden, aber wenn's Spaß macht, dann schaue ich mal, wie weit ich gehe.

Gibt es vielleicht ein kleines Trainingsprogramm dafür?

Danke für Infos.

Gruß
--->Lesefaul

[Lesefaul]

Hallo Janko,

ich glaube, ich hab's kapiert.

Was mir zu meinem "Glück" gefehlt hat, ist die Tatsache/Erkenntnis, das man den Logarithmus so einfach nicht ausrechnen kann.
Das Anwenden der Rechenregeln für den Logarithmus machen mir keine
Schwierigkeiten.
Sicher gibt es Aufgaben, die man im "Kopf" ausrechnen kann, aber nur deswegen, weil man vorher ein Beispiel z.B. aus der Potenzrechnung hat.

Sprich, ich habe mal gelernt, das 10^3 = 1000 ist.
Somit ist Log 10(1000) =3

Was aber, wenn ich das "Vorwissen" nicht habe?
Wie komme ich dann auf die 3?

Man könnte folgende Überlegung anstellen:
Gut, der Logarithmus ist ja der Exponent.
So, nun kann man ja auch sagen:
10 hoch wieviel ergibt 1000.

Jetzt kann ich dann durch anwenden von Rechenregeln solange
"rumdoctoren" bis "es" passt.

Ich muss im Prinzip versuchen, mich dem Ergebnis anzunähern. Richtig?

Habe ich das so richtig verstanden?

Gruß
--->Lesefaul

[Janko]

Jetzt kann ich dann durch anwenden von Rechenregeln solange "rumdoctoren" bis "es" passt.

Ich muss im Prinzip versuchen, mich dem Ergebnis anzunähern. Richtig?

Wenn "es passt" dann näherst du dich doch dem Ergebnis nicht mehr an. Es hängt dann nur noch davon ab wie genau du die Beispielwerte im Kopf hast.
(falls du mich falsch verstanden hattest noch ein Beispiel)
lg1,25=lg(10/(2×2×2))=lg10-lg2-lg2-lg2=1-0,3-0,3-0,3=0,1
Das einzige wo es hier Abweichungen gibt ist die Ungenauigkeit mit der du lg(2) lernst. Und so viele Werte brauchst du auch nicht zu lernen. Für die meisten Rationalen Zahlen reichen ja die "ersten" Primzahlen (außer die 5, die man nicht lernen braucht weil man sie mit 10/2 darstellen kann und lg10 bekannt ist). Und wenn du halt dann noch schneller sein willst kannst du ja wie gesagt die Werte von 1 bis 100 Mnemotechnisch lernen.


Ich weiß bei all dem was ich hier erzähle natürlich nicht ob es noch einfachere Möglichkeiten gibt. Ich hatte mich damit nämlich noch nicht viel beschäftigt
...viel Spaß noch dabei.

[Lesefaul]

Hallo Janko,

hmm, ja, hilft auf jeden Fall weiter.

Ich muss echt gestehen, das das Fernstudium im Bereich Mathe doch recht heftig ist, da man nur liest. Nichts hört UND liest/sieht.

Mal schauen, ob ich ein Lehrvideo für den Bereich finde.
Ich glaube von Telekolleg müsste es was geben.
*aufdiesuchemach*

Dank' Dir für Deine Hilfe.

Gruß
--->Lesefaul

[any-date]

Hallo

@ Ante

Also z.B. 3465 x 6789 kann man auch so rechnen:

1. 65 x 89 = [57]85
2. (34 x 89) + (65 x 67) = 7381 + [57] = 7438 -> [74]3885
3. 34 x 67 = 2278 + [74] = 2352 -> 23523885

ist ja schön, aber geht das auch für zwei 3stellige Zahlen ?

Habe mal ein paar Rechnungen probiert, aber klappt nicht.
oder ist es nur für 4stellige Zahlen (und höher ?) geeignet ?

Gruß
Robin

[Ante]

Hi Robin,

Hallo

@ Ante

Also z.B. 3465 x 6789 kann man auch so rechnen:

1. 65 x 89 = [57]85
2. (34 x 89) + (65 x 67) = 7381 + [57] = 7438 -> [74]3885
3. 34 x 67 = 2278 + [74] = 2352 -> 23523885

ist ja schön, aber geht das auch für zwei 3stellige Zahlen ?

Habe mal ein paar Rechnungen probiert, aber klappt nicht.
oder ist es nur für 4stellige Zahlen (und höher ?) geeignet ?

Gruß
Robin

sollte auch mit 3-stelligen Zahlen funktionieren! Und zwar ganz einfach indem Du die 3 stelligen Zahlen vorne mit "0" auf wieder 4-stellige Zahlen auffüllst. Also z.B. 123 x 456 -> 0123 x 0456, und dann wie beschrieben über Kreuz rechnen.

Wie hast Du es denn gerechnet?

Grüsse,
Ante.

[any-date]

@Ante

Ach ich hatte das nur so probiert, also die letzten beiden Zahlen zusammen, dann über kreuz die letzte und dann die ersten beiden, dann wieder die ersten beiden gemeinsam ... immer wieder irgendwie anders, aber ich kam nie auf das Ergebnis.

Aber das mit der Null stimmt, macht man ja auch bei einer 4stelligen und einer 3stelligen Zahl so.

Hatte ich gar nicht dran gedacht.

Gruß
Robin

[PeterH]

Hallo,

ich habe auf der Internetpräsenz von Ronald W. Doerfler (wegen seines Kopfrechen-Buches) einen Link gefunden, in dem eine Methode erklärt wird, wie man zwei 4-stellige Zahlen mit nur 3 Multiplikationen von jeweils 2-stelligen Zahlen multiplizieren kann. Die Methode liefert das Ergebnis von links nach rechts, man muss sich nur wenige Zwischenergebnisse merken und man spart eben gegenüber der üblichen Kreuzmultiplikation (mit 2-er-Ziffernblöcken, versteht sich) eine Multiplikation ein. Bis jetzt habe ich das erst einmal ausprobiert, weil ich den Link gerade erst gefunden habe , aber es hat direkt wunderbar funktioniert
Lange Rede, kurzer Sinn - hier ist der Link: http://www.myreckonings.com/Dead_Reckon ... ations.pdf
Und die Haupseite (in den Unterseiten sind ab und zu auch noch recht interessante Dateien verlinkt; u.a. Berechnung von tanh auf 4 Nachkommastellen ): http://www.myreckonings.com/Dead_Reckon ... koning.htm

Viele Grüße,
Peter

[PeterH]

Ergänzung:
Ich denke, die Methode ist ganz praktisch, wenn man komplett ohne Stift und Papier rechnen muss; denn dann wäre Ziffer- für Ziffer-Kreuzmultiplikation zwar gedächtnistechnisch machbar, aber vielleicht etwas mühsam und umständlich. Hat man die Zahlen fein säuberlich untereinander stehen (wie bei der WM, oder?), würde ich die Standard-Methode benutzen, weil ich die 2x2er nicht im Kopf habe.

[PeterH]

Hallo,

ich habe in der letzten Woche neben vielen anderen kopfrechnerischen Dingen (alles, was ein wissenschaftlicher Taschenrechner üblicherweise draufhat) ein wenig die Kreuzmultiplikation trainiert (mit einem eigenen Programm, ganz billig ). (Die restlichen Funktionen eines TRs, also sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, log, ln, 10^x, e^x, n!, sinh etc., artanh etc. kann ich zwar berechnen, aber für akzeptable Geschwindigkeit werde ich noch ein wenig üben... (begonnen mit intensiverem Kopfrechnen habe ich seit dem Kauf von Dead Reckoning, also seit einem Monat, aber ich habe ja noch Zeit, bin erst 15 )) Und tatsächlich habe ich ziemlich große Fortschritte gemacht. Bei 4x4 hatte ich zu Beginn Zeiten von ca. 1:30 Minuten (mit der Kreuzmethode und 2er-Zifferblöcken), aber nachdem ich einige Beiträge hier gelesen habe, bin habe ich doch zu der "Einziffermethode" gewechselt; mit dem Programm habe ich bisher als "Rekord" exakt 279 Sekunden benötigt, um zehn 4x4-Multiplikationen zu berechnen. Für zehn 5x5-Multiplikationen brauchte ich dann aber 417,3 Sekunden, so dass der Rekord von Jan v. K. doch noch recht weit entfernt ist
Das war mein erster Fortschrittsbericht, vielleicht erreiche ich ja bald mehr =)

Viele Grüße,
Peter