Lesefaul hat geschrieben:Ich kapier zwar, das es die Umkehrfunktion der Exponentialfunktionist (Dank Wikipedia) aber mehr auch nicht.
Naturwissenschaftliches Studium und keine Ahnung von Logarithmen, da müssen wir was machen.
Ich hatte in der 13 Klasse (Ja in MV gibt's 13 Klassen) einen Mathelehrer der es geschafft hatte einfache Dinge noch einfacher zu erklären. Die meisten von uns wussten damals darüber genau so viel bescheit wie du und so hatte er es uns kurz vorm Abi mal mit seinen Worten erklärt. Ich hoffe ich kriege ihn in Kurzfassung in etwa zitiert:
Also der Logarithmus ist nichts anderes als der Exponent. (Oder wie eine andere Lehrerin gesagt hatte: "Er ist der heruntergekommene Exponent") Wenn ihr also bei einer Gleichung den Exponent sucht dann könnt ihr das mit dem Logarithmus machen.
ZUm Beispiel: wie oft muss man 2 mit sich selbst multiplizieren damit 8 rauskommt
Also 2^x=8 (kann man schlecht schreiben, bedeutet: 2 hoch x = 8 )
Dann ist log(2) 8 =x (bedeutet: Logarithmus von 8 zur Basis 2 = x)
(...) Es gibt zum Logarithmus verschiedene Gesetze. Sie haben Ähnlichkeiten zu den Exponentialgesetzen (da der Logarithmus ja der Exponent ist)
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(a^m)^n=a^(n× m)
ln(a)m ^n= n×ln(a)m
a^( m+ n)= a^m×a^n
log(a)m+log(a)n =log(a)( m× n)
Das Ganze was er erzählt hat hinkt natürlich und die letzten Zeilen sind auch keine Beweise, sondern sie sollen nur eher anschaulich machen, dass die Gesetze nicht einfach aus dem nichts auftauchen.
Lesefaul hat geschrieben: Wofür brauch ich die denn?
Am Häufigsten braucht man Logarithmusfunktionen wenn man bei Exponentialfunktionen den Exponenten sucht. Z.B.:
Eine Bakterie teilt sich einmal in einer Stunde. Nach welcher Zeit sind bei idealem Wachstum aus einer Bakterie 1000 Bakterien geworden?
Nach einem Jahrzehnt ist die Hälfte der radioaktiven Stoffe eines Isotops zerfallen. Wann beträgt die übrig gebliebene radioaktive Menge 1% des Ausgangsstoffes.
Mir fällt jedoch nur ein Beispiel ein bei dem die Logarithmusfunktion die "Ausgangsfunktion" ist: Unser Gehör verarbeitet die Lautstärke Logarithmisch. Als Skala wurde der zehner- oder dekadischer- Logarithmus genommen. Das heißt wenn ein Geräusch die 10 fache Energie hat, dann hören wir es subjektiv um 1b = 10db= zehn dezibel. Bei der 100fachen Energie wären es dann 20db.
Lesefaul hat geschrieben: Leider brauche ich das aber, da ich angefangen habe Informatik zu studieren.
Ich hab den nur mal als Zeitangabe für Algorithmen gesehen. Wo gibt's den denn außerdem?
Lesefaul hat geschrieben: Wie kann man die im Kopf berechnen?
Du kannst dir bei den wichtigsten Basen ein paar feste Werte merken und den Rest dann über die Gesetze herleiten
Beim Zehnerlogarithmus log(10) x auch geschrieben als lg x
lg 10=1
lg 2 =0,3 (Wenn man doppelt so laut schreit dann wird es subjektiv um nur 0,3b =3db lauter)
und vielleicht noch
lg 3=0,47
Den Rest kannst du dir über die Gesetze herleiten
z.B.
lg 5=lg10/lg2=0,7
Ein paar Anwendungsbeispiele die mir auf die Schnelle eingefallen sind:
Wieviel dB leiser wird es, wenn du von einer Schallquelle doppelt so weit weg stehst?
Der Schall breitet sich wie ein Luftballon aus der gerade aufgepustet wird. Verdoppelt man den Durchmesser vervierfacht man die Luftballonoberfläche. Die Energie muss sich also auf die vierfache Fläche verteilen. Folglich kann an einer Stelle, wie unser Ohr, auch nur noch ein viertel ankommen. Es wird also um lg4 leiser. lg4 = lg(2×2) = lg2+lg2 =0,6 Es wird also um 6 dB leiser.
Wieviel dB lauter wird es wenn du einen Lautsprecher von 50% Lautstärke auf 80% Lautstärke aufdrehst.
lg 50 = lg10+lg10-lg2=1,7
lg 80 = lg10+lg2+lg2+lg2=1,9
Die Differenz ist 0,2 Es wird also um 2 dB lauter.
Ein anderer wichtiger Logarithmus ist ln x. Das ist der natürliche Logarithmus oder der Logarithmus zur Basis e. Der ist wichtig, weil bei diesem Logarithmus (wie bei e^x) viele Rechengesetze am kürzesten sind. Deshalb findet man bei vielen Naturgesetzen meist ln... oder e^... statt irgendeine andere Basis. Es gibt bei dem glaub ich aber nicht so glatte Werte wie bei lg 2=0,3. Deshalb dürften alle Kopfrechnungen komplizierter werden.
Deshalb zwei Lösungsvorschläge.
Der erste kam spontan:
Es gibt das Logarithmusgesetz:
Log (b)n=log(a)n/log(a)b
Und da der dekadische Logarithmus für das Kopfrechnen glaub ich eh am einfachsten ist nehmen wir für die Basis a die 10
Log (b)m=log(10)m/log(10)b
= lgm/lgb
Hast du jetzt wie bei ln die Basis e
ln m
=log(e)m
=lg m / lg e
Nun ist 1/lg e eine Konstante, die man ja auswendig lernen kann. Wenn du nun ln von m berechnen musst, brauchst du einfach zu rechnen
ln m = 2,3× lg m
der zweite Lösungsvorschlag:
Warum nicht lg m und ln m im Intervall von 1 bis 99 nach der SEM³ Methode lernen. Ich hatte mit dieser Methode den Sinus im Intervall von 1° bis 89° auf zwei Stellen nach dem Komma genau gelernt. Es ist bei so etwas auch nicht so schlimm wenn man mal eine Assoziation vergisst, dann nimmt man eine Gradzahl weniger und packt dann ein "bisschen" aufs Ergebnis drauf. Ich überlege zurzeit ob ich die Logarithmen auch noch nach der SEM³ Methode lernen werde. Ich finde die Methode beim Sinus oder bei Logarithmen besser, weil man ja dadurch meistens schneller ist, als wenn man das mit dem Kopf ausrechnet. Wie unser SEM³ Fan Florian ja schon geschrieben hat, ist es dann noch wichtig, dass man die Assoziationen regelmäßig wiederholt. Ich habe deshalb meine Memory Matrix in einer Exceltabelle und habe mir ein Programm geschrieben, dass mich die Matrix nach dem Leitner System abfragt.