2-te Wurzel, beliebig genau, altes Verfahren

Wozu unser Gehirn in der Lage ist zeigen nicht nur phantastische Gedächtnisleistungen, sondern auch Spitzenfähigkeiten z.B. beim Kopfrechnen. Über diesbezügliche Techniken und Leistungen wird hier diskutiert.

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Zeta3
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2-te Wurzel, beliebig genau, altes Verfahren

Beitrag von Zeta3 »

Hallo in die Runde,

hier das von mir versprochene Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel - beliebig genau.
Das letztere trifft natürlich nicht zu ! Irgendwann hört man sinnvollerweise nach der 6-ten oder
10-ten Stelle auf. Den Rest "bis ad infinitum" überläßt man dann besser dem Computer.

Das hier vorgestellte Verfahren habe ich bei Ferrol (1911) entnommen und einfach abgeschrieben.
Damit keine Mißverständnisse entstehen, betone ich, daß dieses Verfahren natürlich n i c h t
das allerbeste sein muß (oder ist) sondern lediglich "ein weiteres Verfahren" darstellt, dessen
Bekanntheitsgrad offenbar seit 1911 arg gelitten hat. Einschränkung : Ich zumindestens bin diesem
Verfahren überhaupt nicht begegnet. Ich halte es aber für besser, viele verschiedene Verfahren zu
veröffentlichen (nebst Diskussion), damit ein jeder sich das passende heraussuchen kann - und (warum nicht ?) darauf
aufbauend "Neue Verfahren" entwickelt. Da des öfteren hier im Forum nach Quardratwurzel gefragt wird,
und die "Standardantwort" (fast) immer lautet : "Schlage nach bei Ron Doerfler", dachte ich mir,
ich gebe das mal weiter, was ich gelesen habe. Das nachfolgende ist also alles "Zitat" von Ferrol.
Die Klammerbemerkungen sind von mir. Man beobachte nur, von wo die Zahlen kommen und wie sie weiter
im laufenden verwendet werden. Mir scheint das zum Verständnis des Verfahrens besser zu sein, als mit
abstrakten Indices zu hantieren. Das Wurzelzeichen benenne ich mit SQRT (=square root).
Manche Zeilen sind schöner, wenn man sie richtig untereinander schreibt - aber das geht hier leider nicht.

Beginnen wir :

Es soll SQRT(73,5) berechnet werden. Man beginnt mit SQRT(73)=8 Rest 9
Somit :
SQRT(73,5)=8
9
(Anm.: Die 9 denke man sich unter der 3 geschrieben. Aus Schönheitsgründen !)

Von der eben erhaltenen 8 nimmt man das Doppelte (=16) und dividiert damit in den vorgeschobenen Rest.
95 : 16 = 5 Rest 15

Somit :
SQRT(73,5) = 8,5
16/ 9 15
(Anm.zur 2.ten Zeile : Die 16 fungiert im Folgenden als Modul. Nach ihm wird immer dividiert.
Die 9 steht unter der 3. Die 15 unter der 5. Die 2-te Zeile ist dann immer so zu verstehen.
Will man das Verfahren im Kopf machen, braucht man sich nur die "15" für das weitere zu merken.)

Von dem abermals in der Zehner-Rangordnung weitergeschobenen Rest 150 zieht man das Quadrat
der neuen Wurzelziffer ab. 150 - 25 = 125. Dies durch 16 dividiert gibt 7 Rest 13.
(Anm. Gemeint ist : Der letzte Wert der 2-ten Zeile (=15) wird mit Null "angeklebt, herruntergeholt, etc."
Dann wird gerechnet 150 - 5*5 = 125. Die 5 ist die letzte Ergebnisziffer !!
125 : 16 = 7 Rest 13 )

Somit :
SQRT(73,5) = 8,57
16/ 9 15 13

Von 130 wird das doppelte Produkt der beiden (schon erhaltenen !) Wurzelziffern 5 und 7 abgezogen.
130 - 2*5*7 = 130 - 70 = 60
60 : 16 = 3 Rest 12

Somit :
SQRT(73,5) = 8,573
16/ 9 15 13 12

Von 120 wird nun zweierlei abgezogen : erstens das doppelte Produkt aus 5 und 3
(Anm. beachte die Stellung der Ziffern 5 und 3 im schon erhaltenem Ergebnis.)
120 - 2*5*3 = 120 - 30 = 90
zweitens das Quadrat von 7. Also 90 - 7*7 = 90 - 49 = 41
Dieser Rest wird wieder durch 16 dividiert. 41 : 16 = 2 Rest 9

Somit :
SQRT(73,5) = 8,5732
16/ 9 15 13 12 12 9

Von 90 werden zwei Doppelprodukte abgezogen, erstens das von 5 und 2
(Anm. beachte die Stellung der beiden Ziffern !)
90 - 2*5*2 = 70. Zweitens
das von 7 und 3.
70 - 2*7*3 = 70 - 42 = 28.
28 : 16 = 1 Rest 12

Somit :
SQRT(73,5) = 8,57321
16/ 9 15 13 12 9 12

(Anm. Es fällt vielleicht auf, daß das was man abzieht (diese Ziffernprodukte !)
genau "die großen zentralen symmetrischen Sterne" bei der Kreuzmultiplikation sind.
Dies nur als Hinweis. In einem 2.Nachwort erkläre ich das ein bißchen.)

Von 120 wird dreierlei abgezogen :
120 - 2*5*1 = 120 - 10 = 110
110 - 2*7*2 = 110 - 28 = 82
82 - 3*3 = 82 - 9 = 73
73 : 16 = 4 Rest 9.
Insgesamt also zwei Doppelprodukte und ein Quadrat.

Somit :
SQRT(73,5) = 8,573214
16/ 9 15 13 12 9 12 9

Wie das weitergeht, hat man nun wohl bemerkt :
Was da immer reihenweiswe subtrahiert wird, ist das allmähliche Quadrat von 573214....
und zwar in Quadrierung von links an.

Soweit Ferrol.
Der letzte Satz ist etwas interpretationswürdig.
Dazu 3-4 Sätze im 2. Beitrag.

viele Grüße
zeta3
Zeta3
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Re: 2-te Wurzel, beliebig genau, altes Verfahren

Beitrag von Zeta3 »

Nachtrag :

Um das oben genannte Verfahren vielleicht (?) besser zu verstehen, ist
ein Blick auf die Kreuzmultiplikation sinnvoll.
Man denkt sich "Wurzel aus 73,5" läßt sich auch formulieren als
"73,5 geteilt durch x ist gleich x" Das ist äquivalent.
Divisor und Quotient müssen halt gleich sein.
Rein formal hat man die "Quadratwurzel" als "Divisionsaufgabe" formuliert.

Sei x also gleich a,bcdefgh...., (wobei a b c d ... die gesuchten Ziffern sind)
dann schreibt man einfach :

a,bcdefgh...
a,bcdefgh...
------------
73,500000000000

Und jetzt argumentiert man die "Kreuzmultiplikation" rückwärts, d.h.
von links beginnend.
a*a plus einem übernommenen Rest muß offenbar 73 ergeben.
Also a = 8.Der Rest war offenbar 9. Etc.
Die Argumentation ist so, wie ich sie im Kapitel "Schnelle Division"
beschrieben habe. Man findet hier "die großen zentralen symmetrischen Kreuze" wieder.
Auch den "ewigen Faktor 2 bei der Ziffernmultiplikation" erkennt man hier wieder.
(Jedenfalls sollte man ihn wiederfinden). Die Ziffernprodukte tauchen ja
bei der Kreuzmultiplikation auch zweimal auf !


Letzter Nachtrag :
Wie so immer bei Beispielen - klappt das alles immer wunderbar.
Bei anderen Zahlen stolpert man dann in die Probleme.
Das würde jetzt zu weit führen. Kann man ja diskutieren.

Und :


Last not least - das Verfahren wird nicht als das Non-Plus-Ultra dargestellt !!!

Obwohl (Hand auf's Herz !) :
Es wird nicht mehr als das "kleine Einmaleins" verlangt.

viele grüße
zeta3
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Re: 2-te Wurzel, beliebig genau, altes Verfahren

Beitrag von 50hoch50 »

Hallo Zeta 3,

Danke für die hilfreiche und gut beschriebene Zusammenfassung.

Leider konnte ich erst jetzt antworten da ich in meinen Brainboard Account nur kurz rein konnte und darauf mein Internet abstürzt.

Das Problem hat sich jetzt zum Glück beseitigen lassen.

Ich wollte dir jetzt eben meine Variante vorstellen ( Hat mir Jan van Koningsveld beigebracht ) vorstellen, da merke ich dass ich die Variante vergessen habe.

Ich habe Jan jetzt eine PN geschickt, ich hoffe mal er schreibt mir noch mal wie das Verfahren funktioniert, wenn er hier nicht selbst etwas schreibt.

Ansonsten gute Arbeit
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