Trigonometrische Werte (Fortgeschrittene)

Wozu unser Gehirn in der Lage ist zeigen nicht nur phantastische Gedächtnisleistungen, sondern auch Spitzenfähigkeiten z.B. beim Kopfrechnen. Über diesbezügliche Techniken und Leistungen wird hier diskutiert.

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ynnad
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Trigonometrische Werte (Fortgeschrittene)

Beitrag von ynnad »

In Dead Reckoning gibt es recht gute Methoden um Trigonometrische Funktionen auf 3 bis 4 Stellen recht zuverlässig zu berechnen.
Wer aber vielleicht auch gerne mehr Stellen berechnen möchte hat diese Option.

Es ist eigentlich mit folgenden Additionstheoremen ziemlich simpel.

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)/1-tan(a)*tan(b)
cot(a+b)=1-tan(a)*tan(b)/tan(a)+tan(b)

Für eine Aufgabe wie sin(1,56°) verwende ich folgende Vorgehensweise.

sin(1,56°)=sin(1°)*cos(0,56°)+cos(1°)*sin(0,56°)

Ich weiß in 1° Schritten den Sinus auf 12 Stellen auswendig. Sowie den Sinus und Cosinus zwischen 0,01° und 0,99° auf 12 Stellen.

sin(1,56°)= 0,017452406437*0,999952236368 + 0,999847695156*0,009773688199

Ich kann maximal eine Genauigkeit von 12 Stellen erreichen. Wenn ich sowieso nur eine Genauigkeit von 10 Stellen haben möchte brauche ich die zwei Multiplikationen nicht vollständig auf alle 24 Stellen zu berechnen. Wenn ich bei der Multiplikation von links nach rechts 12 Stellen habe höre ich auf und beginne die nächste.
Anschließend addiert man die zwei Zahlen zusammen und hat ein 10 bis 12 Stellen genaues Ergebnis.

sin(1,56°)=0,017451572846+0,009772199618=0,027223772464

Das Verfahren macht natürlich erst richtig Sinn wenn man mindestens 5 Nachkommastellen berechnen möchte.
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ynnad
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Re: Trigonometrische Werte (Fortgeschrittene)

Beitrag von ynnad »

Für eine 5 Stellengenauigkeit habe ich ein ganz einfache Methode entwickelt.

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

Man sollte die Sinuswerte in 1° Schritten von sin(1°) bis sin(89°) auf 5 Stellen nach dem Komma genau Wissen (cos(67°)=sin(23)).

Bsp.: sin(37,78°)

1)sin(a)=sin(37°)=0,60182
2)sin(b)=78*1745/10.000.000=0,01361 (wenn sin(0,781) dann 781*1745/100.000.000=0,01363)
3)cos(a)=cos(37°)=sin(53)=0,79864
4)cos(b)=cos(0,78)=0,9999 (ich rechne für jeden Wert für cos(b) mit 0,9999)

I) 1)*4)==> 0,60182*0,9999=0,60182*(1-0,0001)= 0,60182-0,000060182=0,60176 (so spart man sich immer eine "schwere" Multiplikation)

II) 2)*3)==> 0,79864*0,01361=0,01087
Diesen Schritt führe ich aufgrund der Schwierigkeit als erstes aus. Man benötigt auch hier nur gerundete 5 Stellen nach dem Komma.

III) I)+II)==> 0,60176+0,01087= 0,61263
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