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 Betreff des Beitrags: Dekadischer Logarithmus
BeitragVerfasst: Mo 08. Jun 2015, 0:48 
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Beiträge: 43
Für alle die gerne den Logarithmus im Kopf bewältigen möchten.

Grundwissen:

lg(3700)= lg(37*10²)= lg(37)+2*lg(10)= 2+lg(37) // lg(n) sollten auf sechs Stellen nach dem Komma genau von n=2 bis n=99 auswendig gelernt werden. Wenn man nur von n=2 bis n=9 auswendig lernt, benötigt man nur fünf signifikante Stellen nach dem Komma.

Formel:

lg(n±a)= lg(n)±0,0101*(43a/(n±a/2))

Schritte:

(1) 43*a // Multiplikation kann auf vier Stellen gerundet werden.
(2) n±a/2 // Vier Stellen genügen ebenso.
(3) (1)/(2)= v,wxyz // Es kann auf die vierte Stelle gerundet werden
(4)
+ 0,0vwxyz
+ 0,000vwx // wenn y⩾5 dann kann x aufgerundet werden
+ lg(n)

oder

+ lg(n)
- 0,0vwxyz
- 0,000vwx // wenn y⩾5 dann kann x aufgerundet werden


Bsp 1.0.:

lg(2786,37) = lg(2800-13,63)

(1) 43*-13,63 ≈ -586
(2) 2800-6,815 ≈ 2793
(3) -586/2793 ≈ -0,2098
(4)
+3,447158
- 0,002098
- 0,000021
=
3,445039

Bsp 1.1.:

lg(2786,37) = lg(3000-213,63)

(1) 43*-213,63 ≈ -9186
(2) 3000-106,815 ≈ 2893
(3) -9186/2893 ≈ 3,175
(4)
+3,47712
- 0,03175
- 0,00032
=
3,44505

Vorteil: Es muss nur der lg(2) bis lg(9) auf fünf Stellen nach dem Komma auswendig gelernt werden.
Nachteil: Eine Stelle weniger genau.

Es geht natürlich auch mit größeren Zahlen:

lg(7293583)= lg(7000000+293583)

(1) 43*293583 ≈ 1262*10^4
(2) 7000000+146791,5 ≈ 7147*10^4
(3) 1262*10^4/7147*10^4 ≈ 1,766
(4)
+ 0,01766
+ 0,00018
+ 6,84510
=
6,86294

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 Betreff des Beitrags: Re: Dekadischer Logarithmus
BeitragVerfasst: Mo 08. Jun 2015, 10:02 
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Registriert: Fr 15. Jun 2012, 15:54
Beiträge: 43
Das Verfahren kann auch "rückwärts" durchgeführt werden. Dies führt dann zu einer Lösung für 10^z.

a= 2n*(z-lg(n))/(0,8686-(z-lg(n)))

Ich wende es meistens auf solche Probleme an.

5.Wurzel(257,3)= 257,3^1/5

(I) Logarithmus aus 257,3 mit der üblichen Methode führt zu 2,41043
(II) 2,41043/5 = 0,482086 ≈ 0,48209 (den lg(3) kann man gerade noch subtrahieren ohne eine negative Zahl zu erzeugen)
(III) 10^0,48209= 3,...

a = 2*3*(0,00497)/0,86363 ≈ 298/8636 =0,0345067

5.Wurzel(257,3) ≈ 3,034506

Umso besser die Näherung bei (II) ist, desto genauer wird das Endergebnis. Generell dürften nur vier bis fünf Stellen nach dem Komma exakt sein.

_________________
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