Mir hat jemand ein schönes Rätsel gegeben.
In dem Rätsel soll man aus 6 gleichen Linien (z.b. Streichhölzer)
eine Form bilden die 8 kongruente Dreiecke besitzt.
Ich bin im Moment leider noch nicht auf die Lösung gekommen.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen..
Die Lösung für 4 und 6 Dreiecke hab ich auch schon.
Viel Spaß beim Rätseln
Nachtrag:
Die Dreieck das aus anderen Dreiecken besteht zählt nicht mit.
Es zählen nur die Dreiecke die genau gleich groß sind.
Geometrie Rätsel
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Geometrie Rätsel
Zuletzt geändert von Garnol am Sa 22. Jul 2006, 0:06, insgesamt 1-mal geändert.
Das kann auch an der schlechten Aufgabenstellung, also der unklaren Formulierung liegen.
Zählt immer nur der kleinste? Oder zählen zwei, vielleicht sogar drei oder vier Dreiecke, die zusammen ein weiteres, größeres Dreieck bilden ebenfalls?
Sofern letzteres der Fall ist, was aufgrund der geringen Strichzahl wohl zutrifft, ist die Lösung ja sehr einfach.
Zählt immer nur der kleinste? Oder zählen zwei, vielleicht sogar drei oder vier Dreiecke, die zusammen ein weiteres, größeres Dreieck bilden ebenfalls?
Sofern letzteres der Fall ist, was aufgrund der geringen Strichzahl wohl zutrifft, ist die Lösung ja sehr einfach.
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Hannes
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Also ich finde die Aufgabenstellung, wenn sie sie richtig ist, nicht unklar. In dem Wort Kongurenz stecken die Bedingungen für die Dreiecke mit drin: Gleiche Form + gleiche Größe.Ulysses hat geschrieben:Das kann auch an der schlechten Aufgabenstellung, also der unklaren Formulierung liegen.
Die Streichhölzer liegen sicher irgendwie übereinander, wie weiß ich aber auch noch nicht!
Gruß Hannes
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Michael Jordan
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So denke ich mir das. Allerdings müsste man den Begriff Kongruent nochmals entschärfen, weil hier ja nur jeweils 4 Dreiecke die gleiche Größe haben.
Edit:
Jetzt habe ich nochmals "gewikit", und da steht zur Kongruenz unter anderm folgendes:
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie
in den drei Seiten (SSS-Satz = Seiten-Seite-Seiten-Satz), oder
in einer Seite und zwei Winkeln (WSW = Winkel-Seiten-Winkel-Satz und SWW = Seite-Winkel-Winkel-Satz), oder
in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder
in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SsW = Große-Seite-Kleine-Seite-Winkel-Satz)
übereinstimmen.
Also, voila, das müsste die Lösung sein!
Edit:
Jetzt habe ich nochmals "gewikit", und da steht zur Kongruenz unter anderm folgendes:
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie
in den drei Seiten (SSS-Satz = Seiten-Seite-Seiten-Satz), oder
in einer Seite und zwei Winkeln (WSW = Winkel-Seiten-Winkel-Satz und SWW = Seite-Winkel-Winkel-Satz), oder
in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder
in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SsW = Große-Seite-Kleine-Seite-Winkel-Satz)
übereinstimmen.
Also, voila, das müsste die Lösung sein!
Ich fürchte, hierbei handelt es sich nicht um vier 'gleiche' im Sinn von 'gleich lange' Linien.
Zudem gibt es gerade nicht eine bloße WWW-Kongruenz, die aber zwischen der ersten und der zweiten Vierergruppe nötig wäre.
Zum Rätsel selbst:
Ich denke, entweder handelt es sich um eine 'extravagante' Anordnung, die nach außen hin geschlossen ist, oder es hat irgendetwas mit sich schneidenden Überlappungen zu tun.
Zudem gibt es gerade nicht eine bloße WWW-Kongruenz, die aber zwischen der ersten und der zweiten Vierergruppe nötig wäre.
Zum Rätsel selbst:
Ich denke, entweder handelt es sich um eine 'extravagante' Anordnung, die nach außen hin geschlossen ist, oder es hat irgendetwas mit sich schneidenden Überlappungen zu tun.
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Michael Jordan
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Mein Austtauschschüler aus Frankreich hat s mir aufgegeben.
Die Lösung für 6 Ecken habe ich zum beispiel schon : Der Judenstern
Die Lösung wird es wohl geben ... als Tipp hat er mir noch gesagt,
das man komplett anders vorgehen muss als bei 4 und 6 ...
Es gibt übrigens auch 3 Dimensionale lösungen ...
Ich glaube ich frage ihn mal per e-mail.
Ps: Er hat erzählt das haufenweise Bücher zu diesem Thema gibt,
und das sich (ich glaube) die Freimaurer damit beschäftigen
Noch zu der Kongruenz ... ich hatte vergessen die WWW stellung auszuschließen.
Somit ist also die Lösung von Michael Jordan nur für die 4 Dreiecks Aufgabe
Die Lösung für 6 Ecken habe ich zum beispiel schon : Der Judenstern
Die Lösung wird es wohl geben ... als Tipp hat er mir noch gesagt,
das man komplett anders vorgehen muss als bei 4 und 6 ...
Es gibt übrigens auch 3 Dimensionale lösungen ...
Ich glaube ich frage ihn mal per e-mail.
Ps: Er hat erzählt das haufenweise Bücher zu diesem Thema gibt,
und das sich (ich glaube) die Freimaurer damit beschäftigen
Noch zu der Kongruenz ... ich hatte vergessen die WWW stellung auszuschließen.
Somit ist also die Lösung von Michael Jordan nur für die 4 Dreiecks Aufgabe
Zu Michael: Ineinanderschieben kann man es natürlich, es hat nur auf mich so gewirkt, als sei dies als endgüktige Lösung gedacht.
Um WWW kommst Du aber trotzdem nicht herum
.
Zu Garnol:
Interessant ist ja, daß die Form nur 8 kongruente Dreiecke 'besitzen' muss, es also nicht notwendig ist, dass sie nur aus diesen besteht.
Zu Michaels Lösung:
Derartige mathematische Rätsel, ich weiß es aus 'leidiger' Erfahrung, sind nur in den seltensten Fällen innerhalb von Sekunden mit einer einfachen Konfiguration zu lösen.
Oft ist es so, dass man, um die Komplexität des Weges zum Ziel abzuschätzen, sich eine schnell gefundene Probelösung vergegenwärtigt,
sich dann vorstellt, wie eine Lösung aussehen würde, die in einer höheren 'Komplexitätsliga stattfindet', und dann einfach noch zwei bis drei 'Ligen' nach oben geht.
Schönen Gruß,
Simon
P.S.: Die Möglichkeit dreidimensionaler Lösungen lässt den potentiellen 'Lösungspool' natürlich zu einem kleinen Meer werden.
Um WWW kommst Du aber trotzdem nicht herum
.Zu Garnol:
Interessant ist ja, daß die Form nur 8 kongruente Dreiecke 'besitzen' muss, es also nicht notwendig ist, dass sie nur aus diesen besteht.
Zu Michaels Lösung:
Derartige mathematische Rätsel, ich weiß es aus 'leidiger' Erfahrung, sind nur in den seltensten Fällen innerhalb von Sekunden mit einer einfachen Konfiguration zu lösen.
Oft ist es so, dass man, um die Komplexität des Weges zum Ziel abzuschätzen, sich eine schnell gefundene Probelösung vergegenwärtigt,
sich dann vorstellt, wie eine Lösung aussehen würde, die in einer höheren 'Komplexitätsliga stattfindet', und dann einfach noch zwei bis drei 'Ligen' nach oben geht.
Schönen Gruß,
Simon
P.S.: Die Möglichkeit dreidimensionaler Lösungen lässt den potentiellen 'Lösungspool' natürlich zu einem kleinen Meer werden
.Hallo Knobelfreunde,
nach ca. 30 min lang überlegen hab ich eine Lösung für das Problem gefunden. Man muss wirklich etwas anders denken, als bei dem Rätsel mit 4 und 6 Dreiecken.
Ich werde euch aber noch ein paar Tage Gelegenheit geben, selbst drauf zu kommen.
(Man kann sich allerdings auch darüber streiten, ob es eine echte Lösung ist.)
noch ein paar Tipps, um euch auf die Sprünge zu helfen:
- mehr 'mathematisch' denken, weniger geometrisch
- alle Punkte der Figur liegen in einer Ebene
- die 8 Dreiecke sind 'mehr' als nur kongruent
Felix
nach ca. 30 min lang überlegen hab ich eine Lösung für das Problem gefunden. Man muss wirklich etwas anders denken, als bei dem Rätsel mit 4 und 6 Dreiecken.
Ich werde euch aber noch ein paar Tage Gelegenheit geben, selbst drauf zu kommen.
(Man kann sich allerdings auch darüber streiten, ob es eine echte Lösung ist.)
noch ein paar Tipps, um euch auf die Sprünge zu helfen:
- mehr 'mathematisch' denken, weniger geometrisch
- alle Punkte der Figur liegen in einer Ebene
- die 8 Dreiecke sind 'mehr' als nur kongruent
Felix
-
Michael Jordan
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- Registriert: Mi 22. Mär 2006, 19:34
OK, hier nun meine Lösung:
Nennen wir die 6 Strecken(Streichhölzer) A,B,C,D,E,F.
Bildet erst mit A,B und C ein Dreieck.
Dann legt ein 2. Dreieck genau darüber, so dass D auf A, E auf B und F auf C liegt.
Dann lassen sich 8 Dreiecke mit folgenden Streichhölzern bilden:
ABC, ABF, AEC, AEF, DBC, DBF, DEC, DEF
Die Eckpunkte jedes Dreiecks sind dabei immer gleich.
Daher könnte man auch behaupten, es ist nur ein Dreieck.
Was meint ihr? Würdet ihr das als Lösung akzeptieren?
Nennen wir die 6 Strecken(Streichhölzer) A,B,C,D,E,F.
Bildet erst mit A,B und C ein Dreieck.
Dann legt ein 2. Dreieck genau darüber, so dass D auf A, E auf B und F auf C liegt.
Dann lassen sich 8 Dreiecke mit folgenden Streichhölzern bilden:
ABC, ABF, AEC, AEF, DBC, DBF, DEC, DEF
Die Eckpunkte jedes Dreiecks sind dabei immer gleich.
Daher könnte man auch behaupten, es ist nur ein Dreieck.
Was meint ihr? Würdet ihr das als Lösung akzeptieren?
Nein, dies würde ich nicht akzeptieren.
Aus der Aufgabenstellung wird ersichtlich ("z.B. Streichhölzer ..."), daß die 'Linien' auch räumliche Ausdehnung besitzen können.
Wendet man nun Deine Lösung auf Streichhölzer (Oder andere derartige Objekte) an, so ergibt sich folgendes Problem:
ABC und DEF sind zueinander kongruent, aber nicht zu den anderen sechs Dreiecken.
Weil die Streichhölzer räumliche Ausdehnung besitzen und somit auch Höhe, sind zwei Seiten der übrigen sechs Dreiecke immer ein wenig gestreckt, die Grundfläche (die ja eines der Streichhölzer ist) aber nicht, somit fehlt es an der Kongruenz.
Für bloß-mathematische Linien wäre die Lösung zwar zutreffend, aber meiner Meinung nach einem solchen Rätsel nicht angemessen. Mir würde der Aha-Effekt fehlen.
Um es auf die Spitze zu treiben:
Man könnte dann auch alle sechs Linien aufeinanderlegen und behaupten,
nun habe man auch zumindest acht (In Wirklichkeit natürlich unendlich viele) kongruente Dreicke mit alpha=180, beta=0 und gamma=0.
(Mögliches Argument gegen das Beispiel 'auf der Spitze': Üblicherweise heißt in derartigen Aufgaben 'acht' eben auch 'genau acht' und nicht 'unendlich'. An Obigem ändert das aber nichts.).
Noch einen schönen Abend,
Simon
Aus der Aufgabenstellung wird ersichtlich ("z.B. Streichhölzer ..."), daß die 'Linien' auch räumliche Ausdehnung besitzen können.
Wendet man nun Deine Lösung auf Streichhölzer (Oder andere derartige Objekte) an, so ergibt sich folgendes Problem:
ABC und DEF sind zueinander kongruent, aber nicht zu den anderen sechs Dreiecken.
Weil die Streichhölzer räumliche Ausdehnung besitzen und somit auch Höhe, sind zwei Seiten der übrigen sechs Dreiecke immer ein wenig gestreckt, die Grundfläche (die ja eines der Streichhölzer ist) aber nicht, somit fehlt es an der Kongruenz.
Für bloß-mathematische Linien wäre die Lösung zwar zutreffend, aber meiner Meinung nach einem solchen Rätsel nicht angemessen. Mir würde der Aha-Effekt fehlen.
Um es auf die Spitze zu treiben:
Man könnte dann auch alle sechs Linien aufeinanderlegen und behaupten,
nun habe man auch zumindest acht (In Wirklichkeit natürlich unendlich viele) kongruente Dreicke mit alpha=180, beta=0 und gamma=0.
(Mögliches Argument gegen das Beispiel 'auf der Spitze': Üblicherweise heißt in derartigen Aufgaben 'acht' eben auch 'genau acht' und nicht 'unendlich'. An Obigem ändert das aber nichts.).
Noch einen schönen Abend,
Simon
Sicher haben die Streichhölzer real eine räumliche Ausdehnung. Die Komplexität des Problems wird dadurch aber so sehr erhöht, dass man nicht mehr von kongruenten Dreiecken im mathematischen Sinn reden kann, da z.B. die Form der Streichhölzer nicht gegeben ist. Daher wird im Allgemeinen bei der Modellierung solcher Probleme die 'Dicke' der Linien vernachlässigt.Aus der Aufgabenstellung wird ersichtlich ("z.B. Streichhölzer ..."), daß die 'Linien' auch räumliche Ausdehnung besitzen können.
Das meinte ich mit "mehr 'mathematisch' denken"...Für bloß-mathematische Linien wäre die Lösung zwar zutreffend, ...
Solche Objekte sind gewiss keine Dreiecke. Es wäre hier die DreiecksungleichungMan könnte dann auch alle sechs Linien aufeinanderlegen und behaupten,
nun habe man auch zumindest acht (In Wirklichkeit natürlich unendlich viele) kongruente Dreicke mit alpha=180, beta=0 und gamma=0.
a<b+c verletzt (hier gilt die Gleichheit in einem der 3 Fälle).
Die Eckpunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. So kann eine Linie auch nicht als unendliche Menge kongruenter Dreiecke gesehen werden.
Das wäre Unsinn.
Schöne Grüße
Felix
edit:
Ich gebe Dir darin recht, daß eine Linie kein Dreieck ist. Die Dreiecksungleichung spricht dagegen.
Ich weiß aber, woher mein anfängerhaft wirkender Fehler kommt:
c muß ja nur kleiner oder gleich a + b sein.
Es gibt also Dreiecke, bei denen a + b = c, die also als Linie erscheinen, wobei hier natürlich alpha = 0, beta = 0 und gamma = 180 Grad ist.
(Ein Dreieck muß also nicht drei Ecken haben ).
Aus dem geliebten Mathematikunterricht hatte ich also noch im Kopf:
"Was als eine Linie erscheint, kann ein Dreieck sein."
Dies als Faktum abgespeichert und verbunden mit der Idee des Zusammenfallens der Seiten war auch ausreichend. Übersehen habe ich dabei aber (Weil ich den Vorgang selbst nicht 'zurückgespult' habe), daß es sich doch um drei Seiten handelt, a und b also lediglich auf c liegen.
So kam ich zu dem Trugschluß (Der nur in einer für die Geometrie nicht immer typischen dynamischen Betrachtung gesehen hätte werden können) , daß allein die eine Linie das Dreieck bildet.
Nachsehen müsste man, ob per Definition auch a oder b die Länge 0 haben können (Auch dann wäre die Dreiecksungleichung erfüllt), was ich aber eher für unwahrscheinlich halte, weil dann ja die drei Winkel nicht einmal mehr theoretisch gebildet werden könnten.
Falls es doch möglich wäre, könnten zwei aufeinanderliegende Linien ein Dreieck bilden.
(Das mit der Dreiecksungleichung sollte man übrigens nicht als feststehende Wahrheit betrachten, die sich logisch aus der Natur der Sache ergibt und deshalb eine abweichende Sichtweise vollkommen abwegig ist: Sie ist lediglich ein Axiom, das eben die Grenzen absteckt.)
Zu den dreidimensionalen Objekten (edit Ende):
Ein idealisiertes Streichholz (Von mir aus ohne Kopf) kann ebenso für Kongruenz sorgen wie eine "rein mathematische" Linie.
Die räumliche Ausdehnung an einer derart bedeutenden Stelle plötzlich zu vernachlässigen, obwohl sie der Lösung im Wege steht, halte ich für eher unmathematisch.
Die Aufgabenstellung selbst würde dann ein wenig verfehlt erscheinen.
Mir scheint, daß durchaus zwischen Aufgaben bezüglich der Möglichkeit körperlicher Ausdehnung unterschieden wird.
Zudem erscheint es mir mathematisch ebenso zweifelhaft, daß zwei Linien (Trotz ihrer nur eindimensionalen Ausdehnung) den genau gleichen Raum beanspruchen sollen (Mal von Bosonen abgesehen ... ).
Eine grundlegende Bedingung derartiger Aufgaben ist doch gerade, daß die einzelnen Objekte eine gewisse Ausschließlichkeit (Von Überschneidungen abgesehen) beanspruchen.
Mich würden eher die besagten dreidimensionalen Lösungen interessieren.
Ich gebe Dir darin recht, daß eine Linie kein Dreieck ist. Die Dreiecksungleichung spricht dagegen.
Ich weiß aber, woher mein anfängerhaft wirkender Fehler kommt:
c muß ja nur kleiner oder gleich a + b sein.
Es gibt also Dreiecke, bei denen a + b = c, die also als Linie erscheinen, wobei hier natürlich alpha = 0, beta = 0 und gamma = 180 Grad ist.
(Ein Dreieck muß also nicht drei Ecken haben
).Aus dem geliebten Mathematikunterricht hatte ich also noch im Kopf:
"Was als eine Linie erscheint, kann ein Dreieck sein."
Dies als Faktum abgespeichert und verbunden mit der Idee des Zusammenfallens der Seiten war auch ausreichend. Übersehen habe ich dabei aber (Weil ich den Vorgang selbst nicht 'zurückgespult' habe), daß es sich doch um drei Seiten handelt, a und b also lediglich auf c liegen.
So kam ich zu dem Trugschluß (Der nur in einer für die Geometrie nicht immer typischen dynamischen Betrachtung gesehen hätte werden können) , daß allein die eine Linie das Dreieck bildet.
Nachsehen müsste man, ob per Definition auch a oder b die Länge 0 haben können (Auch dann wäre die Dreiecksungleichung erfüllt), was ich aber eher für unwahrscheinlich halte, weil dann ja die drei Winkel nicht einmal mehr theoretisch gebildet werden könnten.
Falls es doch möglich wäre, könnten zwei aufeinanderliegende Linien ein Dreieck bilden.
(Das mit der Dreiecksungleichung sollte man übrigens nicht als feststehende Wahrheit betrachten, die sich logisch aus der Natur der Sache ergibt und deshalb eine abweichende Sichtweise vollkommen abwegig ist: Sie ist lediglich ein Axiom, das eben die Grenzen absteckt.)
Zu den dreidimensionalen Objekten (edit Ende):
Ein idealisiertes Streichholz (Von mir aus ohne Kopf) kann ebenso für Kongruenz sorgen wie eine "rein mathematische" Linie.
Die räumliche Ausdehnung an einer derart bedeutenden Stelle plötzlich zu vernachlässigen, obwohl sie der Lösung im Wege steht, halte ich für eher unmathematisch.
Die Aufgabenstellung selbst würde dann ein wenig verfehlt erscheinen.
Mir scheint, daß durchaus zwischen Aufgaben bezüglich der Möglichkeit körperlicher Ausdehnung unterschieden wird.
Zudem erscheint es mir mathematisch ebenso zweifelhaft, daß zwei Linien (Trotz ihrer nur eindimensionalen Ausdehnung) den genau gleichen Raum beanspruchen sollen (Mal von Bosonen abgesehen ...
).Eine grundlegende Bedingung derartiger Aufgaben ist doch gerade, daß die einzelnen Objekte eine gewisse Ausschließlichkeit (Von Überschneidungen abgesehen) beanspruchen.
Mich würden eher die besagten dreidimensionalen Lösungen interessieren.
Zuletzt geändert von Pat am Di 29. Aug 2006, 20:46, insgesamt 2-mal geändert.