Hallo,
die Quadratzahlen von 1 bis 20 sind wichtig fürs Kopfrechenen, weil man mit ihnen hilfreiche Zwischenergebnisse bilden kann.
Beispiel: 14 x 15 = 14 x 14 + 15.
Wie merkt ihr euch:
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
13 x 13 = 169
14 x 14 = 196
15 x 15 = 225
16 x 16 = 256
17 x 17 = 289
18 x 18 = 324
19 x 19 = 361
20 x 20 = 400
Viele Grüße,
Klaus
Wie merkt ihr euch die Quadratzahlen von 1 bis 20?
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Klaus Horsten
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?Re: Wie merkt ihr euch die Quadratzahlen von 1 bis 20?
nicht +14?Klaus Horsten hat geschrieben:Beispiel: 14 x 15 = 14 x 14 + 15.
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Klaus Horsten
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Selbstverständlich muss es heißen
14 x 15 = 14 x 14 + 14 . Sorry.
Für alle, denen das Beispiel zu leicht ist, lässt sich die Zahlenreihe erweitern, es geht ja um die Methode (und nicht nur um diese Zahlenreihe):
Alle Quadratzahlen bis 200 (letzte 200 x 200), wobei 1 bis 12 als Allgemeinwissen vorausgesetzt wird.
Beispiel: 143 x 143 = 20449
Wie schlage ich eine sinnvolle Verbindung von 143 zu 20449?
Habt ihr für 143 schon ein fertiges Bild?
Oder 2 Worte bilden t ... r... m... und n... s... r... r... p...? Und die dann zu einem sinnvollen Bild/Satz/Spruch versprachlichen/verbinden?
Klaus
14 x 15 = 14 x 14 + 14 . Sorry.
Für alle, denen das Beispiel zu leicht ist, lässt sich die Zahlenreihe erweitern, es geht ja um die Methode (und nicht nur um diese Zahlenreihe):
Alle Quadratzahlen bis 200 (letzte 200 x 200), wobei 1 bis 12 als Allgemeinwissen vorausgesetzt wird.
Beispiel: 143 x 143 = 20449
Wie schlage ich eine sinnvolle Verbindung von 143 zu 20449?
Habt ihr für 143 schon ein fertiges Bild?
Oder 2 Worte bilden t ... r... m... und n... s... r... r... p...? Und die dann zu einem sinnvollen Bild/Satz/Spruch versprachlichen/verbinden?
Klaus
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Klaus Horsten
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Genau. Es kommt nur auf die 'subjektive Effektivität' an, um es fremdwortlastig auszudrücken.
Was bei Dir funktioniert, ist gut. Es geht ja auch nur um die Verbesserung Deiner eigenen Merkfähigkeiten.
Deshalb ist Gedächtnistechnik auch ein weites Experimentierfeld
.
Aber um experimentieren zu können, mußt Du natürlich, wie man es oft hört, zunächst das 'Handwerkszeug' beherrschen.
Dazu findest Du hier im Forum genügend Informationen und wir helfen Dir natürlich auch gerne.
Simon
Was bei Dir funktioniert, ist gut. Es geht ja auch nur um die Verbesserung Deiner eigenen Merkfähigkeiten.
Deshalb ist Gedächtnistechnik auch ein weites Experimentierfeld
.Aber um experimentieren zu können, mußt Du natürlich, wie man es oft hört, zunächst das 'Handwerkszeug' beherrschen.
Dazu findest Du hier im Forum genügend Informationen und wir helfen Dir natürlich auch gerne.
Simon
Hallo Klaus!
Ich glaube, wenn es um solch elementares Wissen geht, sollte der Zugriff möglichst direkt und ohne Umweg über Bilder stattfinden.
Merke die lieber ein paar Rechenkniffe mit denen du diese Zahlen berechnen kannst. Hier sind noch einige Beispiele:
Multiplikation der Zahlen von 10-19:
Gegeben 2 Zahlen a und b > = 10 und < 20. Addiere die Einerstelle von Zahl b zu Zahl a. Füge eine 0 hinten dran, das ist jetzt Zahl c. Multipliziere die Einerstellen von a und b und addiere das Resultat zu c. Fertig!
Bsp: 13 * 17 = ? 1) 13+7 = 20 also 200 2) 7*3 = 21 3) 200 + 21 = 221
Quadrieren der Zahlen von 10-19:
Bsp: 16*16 = ?
1) erste Ziffer des Ergebnisses ist 1 (+ eventueller Übertrag)
2) 0 anhängen: 10
3) Einerziffer mit 2 multiplizieren, das ergibt 12
4) Diese Zahlen addieren 10+12 = 22
5) 0 anhängen 220
6) Einerziffern multiplizieren und zu 220 addieren: 6*6 = 36
220+36 = 256
Letzter Tricke (aber damit sind die Möglichkeiten noch lange nicht erschöpft!)
gegeben eine Zahl mit Einerstelle 5, Zehnerstelle beliebig.
Dann kannst du das Quadrat ausrechnen, indem du die Zehnerstelle mit sich selbst um 1 erhöht multiplizierst und 25 an das Resultat dranhängst.
Bsp: 25^2 = ?
2*3 = 6 und 25 drangehängt ist 625... das richtige Ergebnis.
Ich hoffe, dass ich dich mit diesem Beitrag davon überzeugen konnte, bei solchen Informationen nicht mit Bilder zu arbeiten, sondern die Struktur der Zahlen besser auszunutzen.
lg Georg
Ich glaube, wenn es um solch elementares Wissen geht, sollte der Zugriff möglichst direkt und ohne Umweg über Bilder stattfinden.
Merke die lieber ein paar Rechenkniffe mit denen du diese Zahlen berechnen kannst. Hier sind noch einige Beispiele:
Multiplikation der Zahlen von 10-19:
Gegeben 2 Zahlen a und b > = 10 und < 20. Addiere die Einerstelle von Zahl b zu Zahl a. Füge eine 0 hinten dran, das ist jetzt Zahl c. Multipliziere die Einerstellen von a und b und addiere das Resultat zu c. Fertig!
Bsp: 13 * 17 = ? 1) 13+7 = 20 also 200 2) 7*3 = 21 3) 200 + 21 = 221
Quadrieren der Zahlen von 10-19:
Bsp: 16*16 = ?
1) erste Ziffer des Ergebnisses ist 1 (+ eventueller Übertrag)
2) 0 anhängen: 10
3) Einerziffer mit 2 multiplizieren, das ergibt 12
4) Diese Zahlen addieren 10+12 = 22
5) 0 anhängen 220
6) Einerziffern multiplizieren und zu 220 addieren: 6*6 = 36
220+36 = 256
Letzter Tricke (aber damit sind die Möglichkeiten noch lange nicht erschöpft!)
gegeben eine Zahl mit Einerstelle 5, Zehnerstelle beliebig.
Dann kannst du das Quadrat ausrechnen, indem du die Zehnerstelle mit sich selbst um 1 erhöht multiplizierst und 25 an das Resultat dranhängst.
Bsp: 25^2 = ?
2*3 = 6 und 25 drangehängt ist 625... das richtige Ergebnis.
Ich hoffe, dass ich dich mit diesem Beitrag davon überzeugen konnte, bei solchen Informationen nicht mit Bilder zu arbeiten, sondern die Struktur der Zahlen besser auszunutzen.
lg Georg
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Klaus Horsten
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Klaus Horsten
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Es gibt eine sinnvolle Kombination: Ich kann mir Zwischenergebnisse besser dadurch merken, dass ich sie visualisiere.
Da sind für mich am schnellsten Zahl-Form-Symbole:
0 ähnelt Ei
1 ähnelt Kerze
2 ähnelt Schwan
3 ähnelt Brezel
4 ähnelt Segelschiff
..
8 ähnelt Sanduhr
...
Manchmal vergesse ich die Zwischenergebnisse. Hätte ich ein Blatt Papier, würde ich sie aufschreiben.
Stattdesse merke ich mir zum Beispiel für 230 Brezel um Schwanenhals - ich weiß, dass dann noch eine Null kommt. Das habe ich vorläufig im Speicher abgelegt.
Je komplizierter die Kopfrechnungen werden, je mehr Zwischenergebnisse man sich merken muss, um so sinnvoller wird so ein Verfahren.
Klaus
Da sind für mich am schnellsten Zahl-Form-Symbole:
0 ähnelt Ei
1 ähnelt Kerze
2 ähnelt Schwan
3 ähnelt Brezel
4 ähnelt Segelschiff
..
8 ähnelt Sanduhr
...
Manchmal vergesse ich die Zwischenergebnisse. Hätte ich ein Blatt Papier, würde ich sie aufschreiben.
Stattdesse merke ich mir zum Beispiel für 230 Brezel um Schwanenhals - ich weiß, dass dann noch eine Null kommt. Das habe ich vorläufig im Speicher abgelegt.
Je komplizierter die Kopfrechnungen werden, je mehr Zwischenergebnisse man sich merken muss, um so sinnvoller wird so ein Verfahren.
Klaus
Zuallererst der Link zu einer Seite mit hunderten von Rechenkniffen:
http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
Wenn man z.B. den Binomialsatz kennt fallen 20% der Rechenkniffe weg, die man wirklich auswendig lernen muss.
Weiß man dann noch, dass eine Division durch 2.5 auch durch eine Multiplikation mit 2 und einer Division durch 5 gerechnet werden kann, fallen weitere 20% weg.
Hier noch die Tricks, die ich am nützlichsten finde:
1) Quadrieren einer Zahl um 50
Addiere die Differenz zu 50 zu 25. Das sind die ersten beiden Stellen (+Übertrag). Die letzten beiden Ziffern sind das Quadrat der Differenz. Falls das Quadrat dreistellig ist, kommt die erste Ziffer als Übertrag zu den ersten 2 Stellen addiert.
Bsp: 57^2 = ? ---> Differenz 7
25+7 = 32 .... sind die ersten 2 Ziffern
7^2 = 49 .... sind die letzten beiden Ziffern
Ergebnis: 3249
Bsp: 31^2 = ? ---> Differenz 19
25-19 = 06
19^2 = 361
Ergebnis: 0961 -> 961
Wenn du jetzt schon die Quadratzahlen bis 20 kennst, kannst du mit der Methode alle Quadrate in Windeseile von 30 - 70 ausrechnen. Ich finde, sie kommt dem Kopfrechnen sehr entgegen. Falls du z.B. 47 quadrieren willst, musst du die Differenz subtrahieren, also 25-Differenz.
2) Quadrieren einer Zahl um 100
Bsp: 93^2 = ?
Differenz zu 100 = 7
93 - 7 = 86
7^2 = 49
Ergebnis: 8649
Damit ist, ebenfalls wieder unter Voraussetzung der Kenntnis der Quadratzahlen zwischen 1 und 20, auch der Wertebereich von 80-100 abgedeckt.
Das Merken über Bilder belangend, gebe ich dir recht, dass es leichter ist.
In ein Bild zu übersetzen braucht jedoch auch mehr Zeit, als wenn du die Zahlen direkt im Kopf hast. Das natürliche Zahlengedächtnis ist auch ohne Bilder steigerbar. Versuch dir Zahlen über Rechenoperationen, Rotationen, Quadrate etc. zu merken. Damit übst du auch gleich Kopfrechnen und entwickelst einen Blick für Zahlen.
Natürlich brauchst du für akrobatische Rechenleistungen irgendwann Bilder, aber meiner Ansicht nach lohnt sich der Aufwand das Merken von Zahlen ohne Bilder ebenso zu forcieren. Beiß in den sauren Apfel!
Ich, als Beispiel, hab meine "Mnemotechnik-Karriere" damit begonnen, mir Telefonnnummern, Pi, etc. zu merken. Damals hatte ich noch überhaupt keine Ahnung von Loci und Bildern. Die Unterschiede in der Merkfähigkeit bis jetzt sind noch nicht so berauschend.
Ohne Bilder schaffe ich 60 Ziffern und mit Bildern 90 Ziffern in 5 Minuten.
Jede Art des Merkens impliziert einen ganz bestimmten Zugriff auf das Wissen. Je nach Anwendungsbereich muss man sich über diese Tatsache erst einmal Gedanken machen.
lg Georg
http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
Wenn man z.B. den Binomialsatz kennt fallen 20% der Rechenkniffe weg, die man wirklich auswendig lernen muss.
Weiß man dann noch, dass eine Division durch 2.5 auch durch eine Multiplikation mit 2 und einer Division durch 5 gerechnet werden kann, fallen weitere 20% weg.
Hier noch die Tricks, die ich am nützlichsten finde:
1) Quadrieren einer Zahl um 50
Addiere die Differenz zu 50 zu 25. Das sind die ersten beiden Stellen (+Übertrag). Die letzten beiden Ziffern sind das Quadrat der Differenz. Falls das Quadrat dreistellig ist, kommt die erste Ziffer als Übertrag zu den ersten 2 Stellen addiert.
Bsp: 57^2 = ? ---> Differenz 7
25+7 = 32 .... sind die ersten 2 Ziffern
7^2 = 49 .... sind die letzten beiden Ziffern
Ergebnis: 3249
Bsp: 31^2 = ? ---> Differenz 19
25-19 = 06
19^2 = 361
Ergebnis: 0961 -> 961
Wenn du jetzt schon die Quadratzahlen bis 20 kennst, kannst du mit der Methode alle Quadrate in Windeseile von 30 - 70 ausrechnen. Ich finde, sie kommt dem Kopfrechnen sehr entgegen. Falls du z.B. 47 quadrieren willst, musst du die Differenz subtrahieren, also 25-Differenz.
2) Quadrieren einer Zahl um 100
Bsp: 93^2 = ?
Differenz zu 100 = 7
93 - 7 = 86
7^2 = 49
Ergebnis: 8649
Damit ist, ebenfalls wieder unter Voraussetzung der Kenntnis der Quadratzahlen zwischen 1 und 20, auch der Wertebereich von 80-100 abgedeckt.
Das Merken über Bilder belangend, gebe ich dir recht, dass es leichter ist.
In ein Bild zu übersetzen braucht jedoch auch mehr Zeit, als wenn du die Zahlen direkt im Kopf hast. Das natürliche Zahlengedächtnis ist auch ohne Bilder steigerbar. Versuch dir Zahlen über Rechenoperationen, Rotationen, Quadrate etc. zu merken. Damit übst du auch gleich Kopfrechnen und entwickelst einen Blick für Zahlen.
Natürlich brauchst du für akrobatische Rechenleistungen irgendwann Bilder, aber meiner Ansicht nach lohnt sich der Aufwand das Merken von Zahlen ohne Bilder ebenso zu forcieren. Beiß in den sauren Apfel!
Ich, als Beispiel, hab meine "Mnemotechnik-Karriere" damit begonnen, mir Telefonnnummern, Pi, etc. zu merken. Damals hatte ich noch überhaupt keine Ahnung von Loci und Bildern. Die Unterschiede in der Merkfähigkeit bis jetzt sind noch nicht so berauschend.
Ohne Bilder schaffe ich 60 Ziffern und mit Bildern 90 Ziffern in 5 Minuten.
Jede Art des Merkens impliziert einen ganz bestimmten Zugriff auf das Wissen. Je nach Anwendungsbereich muss man sich über diese Tatsache erst einmal Gedanken machen.
lg Georg
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Klaus Horsten
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Also das ist wirklich ein Geheimtipp! Herzlichen Dank!Garunkel hat geschrieben:http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
Auch Danke für die anderen Ausfürhungen. Die eine Rechenmethode >10 <20 habe ich schon internalisiert. Das ist das große Einmaleins.
Ich habe einfach beobachtet, dass ich mental im Zahlenmerken - Merken von Ausganszahlen und von Zwischenenergebnissen - bald an meine Grenzen komme. Vielleicht sind deine weiter außerhalb.
Das verstehe ich leider nicht. Kannst du mir eine Beispiel geben?Versuch dir Zahlen über Rechenoperationen, Rotationen, Quadrate etc. zu merken.
Viele Grüße,
Klaus
Ok, ein Beispiel für das Merken einer Zahl ohne Bilder:
3,141592653589
Ich fang mit dem Nachkommateil an:
14 - 15 nach der 14 kommt gleich die 15, ihr Nachfolger
92 die Summe der Zehnerstellen aus den vorigen beiden Zahlen ergibt die Einerstelle, die Summe der Einerstellen ergibt die Zehnerstelle
65 - 35 eine schöne runde Differenz von 20. Die 2 in der vorigen 92 kann für die Differenz stehen.
ODER:
6 dann 5, dann die Hälfte von 6, also 3 und nochmal 5
Die letzten beiden Zahlen 8, 9 sind wieder ein schöner Anstieg und auf die 8 kommt man, weil 3+5 (aus der vorhergehenden Zahl ja 8 ist)
Das war nur ein Beispiel. Hier noch ein anderes, damit du siehst, dass es hier ziemlich viele Möglichkeiten gibt.
Auf "3", 2, "1" los gehts.
Die ersten beiden Zahlen 41 und 59 ergeben zusammen 100.
Nimmt man aus 4159 die 2 mittleren Stellen und addiert zu jeder Ziffer 1 dazu (vielleicht die erste Nachkommastellen 1) ergibt sich 26
535 ist schön symmetrisch
und 89 wieder der Anstieg.
Mit Rotationen meinte ich vorher, dass wenn die Ziffern z.B. von 1 bis 4 hintereinander kommen, aber nicht in der richtigen Reihenfolge, dann vielleicht rotiert. Wenn du das erkennst, merkst du sie dir viel leichter.
Oder wenn du merkst, dass sie nur verwürfelt sind.
Bsp: 4231
3,141592653589
Ich fang mit dem Nachkommateil an:
14 - 15 nach der 14 kommt gleich die 15, ihr Nachfolger
92 die Summe der Zehnerstellen aus den vorigen beiden Zahlen ergibt die Einerstelle, die Summe der Einerstellen ergibt die Zehnerstelle
65 - 35 eine schöne runde Differenz von 20. Die 2 in der vorigen 92 kann für die Differenz stehen.
ODER:
6 dann 5, dann die Hälfte von 6, also 3 und nochmal 5
Die letzten beiden Zahlen 8, 9 sind wieder ein schöner Anstieg und auf die 8 kommt man, weil 3+5 (aus der vorhergehenden Zahl ja 8 ist)
Das war nur ein Beispiel. Hier noch ein anderes, damit du siehst, dass es hier ziemlich viele Möglichkeiten gibt.
Auf "3", 2, "1" los gehts.
Die ersten beiden Zahlen 41 und 59 ergeben zusammen 100.
Nimmt man aus 4159 die 2 mittleren Stellen und addiert zu jeder Ziffer 1 dazu (vielleicht die erste Nachkommastellen 1) ergibt sich 26
535 ist schön symmetrisch
und 89 wieder der Anstieg.
Mit Rotationen meinte ich vorher, dass wenn die Ziffern z.B. von 1 bis 4 hintereinander kommen, aber nicht in der richtigen Reihenfolge, dann vielleicht rotiert. Wenn du das erkennst, merkst du sie dir viel leichter.
Oder wenn du merkst, dass sie nur verwürfelt sind.
Bsp: 4231