54^16=
5227573613485916806405226496
Log 54 mit 5 Nachkommastellen gerechnet ergibt als Beispiel
52268... ist also nicht genug genau.
Da muss ich mich auch noch genauer damit befassen
Potenzieren mit hochem exponenten
mit logarithmen lassen sich sehr gut annäherungen an die potenzen ausrechnen, wie viele Stellen im Logarithmus braucht es für eine korrekte Potenz?
54^16=
5227573613485916806405226496
Log 54 mit 5 Nachkommastellen gerechnet ergibt als Beispiel
52268... ist also nicht genug genau.
Da muss ich mich auch noch genauer damit befassen
54^16=
5227573613485916806405226496
Log 54 mit 5 Nachkommastellen gerechnet ergibt als Beispiel
52268... ist also nicht genug genau.
Da muss ich mich auch noch genauer damit befassen
Hallo
ja also ich hab schon ein bisschen rum probiert :
er merkt sich z.B. : log(3) = 0,4771212547 (10 stellen)
log(2) =0,3010299956 (10 stellen (wust ich sogar auswendig ))
54 = 3^3 * 2
log(3^3 * 2) = log(3)*3 + log(2) =
0,4771212547 * 3 + 0,3010299956 =
1,7323937597
(wen man das entlogarithmiert kriegt man 53,99999998...)
dann 1,7323937597 * 16 =27,7183001552
und dann 10 ^ 27,7183001552 (also entlogarithmieren) =
5227573589803297815665917972,9493
die eigentliche zahl ist :
5227573613485916806405226496
also die ersten 6 stellen richtig ... naja ich probier aber noch ein bisschen rum ...
ach ja und ich hab Gamm gefragt er hatt gesagt das ihm das beim üben
aufgefallen ist (45^6 = 12 letzte stellen von 75 ^ 50)
ja also ich hab schon ein bisschen rum probiert :
er merkt sich z.B. : log(3) = 0,4771212547 (10 stellen)
log(2) =0,3010299956 (10 stellen (wust ich sogar auswendig ))
54 = 3^3 * 2
log(3^3 * 2) = log(3)*3 + log(2) =
0,4771212547 * 3 + 0,3010299956 =
1,7323937597
(wen man das entlogarithmiert kriegt man 53,99999998...)
dann 1,7323937597 * 16 =27,7183001552
und dann 10 ^ 27,7183001552 (also entlogarithmieren) =
5227573589803297815665917972,9493
die eigentliche zahl ist :
5227573613485916806405226496
also die ersten 6 stellen richtig ... naja ich probier aber noch ein bisschen rum ...
ach ja und ich hab Gamm gefragt er hatt gesagt das ihm das beim üben
aufgefallen ist (45^6 = 12 letzte stellen von 75 ^ 50)
-i/1 = -i
1/-i = i
1/-i = i
Wow, du hast Rüdiger Gamm getroffen? Er ist sicher Zahlenfreund genug, bekannte Kombinationen wie 75^6 zu erkennen, davon ist auszugehen.
Meine Frage wegen der Fakultät bezog sich auf mögliche Zusammenhänge zwischen Potenzen ausrechnen und Fakultäten wissen oder rechnen, so ist zB. 11*12*13 +12 gleich 12 hoch drei.
Meine Frage wegen der Fakultät bezog sich auf mögliche Zusammenhänge zwischen Potenzen ausrechnen und Fakultäten wissen oder rechnen, so ist zB. 11*12*13 +12 gleich 12 hoch drei.
Hallo Leute ! 
Ich hab ihn ne mail geschickt
Wo wohnt er eigentlich ?
Oh sorry hab ich wol falsch formuliert ^^Wow, du hast Rüdiger Gamm getroffen?
Ich hab ihn ne mail geschickt
Wo wohnt er eigentlich ?
woher weißt du das ?Meine Frage wegen der Fakultät bezog sich auf mögliche Zusammenhänge zwischen Potenzen ausrechnen und Fakultäten wissen oder rechnen, so ist zB. 11*12*13 +12 gleich 12 hoch drei.
-i/1 = -i
1/-i = i
1/-i = i
Mit dem Gedanken spielte ich auch schon, da er hier die Fragen vor Jahren auf sich beruhen liess, weiss ich nicht, ob er auch antworten wird- halte uns doch wenn bitte auf dem Laufenden.Oh sorry hab ich wol falsch formuliert ^^
Ich hab ihn ne mail geschickt Very Happy
Wo wohnt er eigentlich ?
Bei der intensiven Gedankenarbeit mit Zahlen und der Suche nach Regelmässigkeiten fand ich diese Regelmässigkeit (wahrscheinlich ist sie mathematisch- algebraisch einfach beweisbar).
Beruhigend ist das Wissen, dass auch Rüdiger Gamm erstmal bis zur neunten, dann zwölften, dann zwanzigsten, dann fünfzigsten etc. Potenz gelernt hat.
oh ja ich habs jetzt auch kapiert als ich in der nacht darüber nachgedachtBei der intensiven Gedankenarbeit mit Zahlen und der Suche nach Regelmässigkeiten fand ich diese Regelmässigkeit (wahrscheinlich ist sie mathematisch- algebraisch einfach beweisbar).
habe (ich überlege öfters über ein problem das ich am tag nicht gelöst habe
in der nacht )
ich hab so überlegt :
(11*12*13)+12=(((12^2)-(1*12))*13)+12=(((12^3+12^2)-(12^2+12)+12=
=12^3+12^2-12^2-12+12=12^3
Geht mit allen Zahlen also =
x^3=((x-1)*x*(x+1))+x
wenn man die fakultät weis :
11*12*13+12=13!/10! + 12
bitte wikipedia seite sagen (website )Zitat:
aus Wikipedia:
Für Potenzen mit beliebiger Basis existiert ein Zahlendreieck anderer Art:
Lesart:
Ob das wirklich praktischer ist? Shocked
-i/1 = -i
1/-i = i
1/-i = i
http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck
Wie du sie finden konntest:
kopieren und in Häkchen (") bei Google eingeben.
Wie du sie finden konntest:
Für Potenzen mit beliebiger Basis existiert ein Zahlendreieck anderer Art:
kopieren und in Häkchen (") bei Google eingeben.
Entschuldigt bitte, das war eine etwas zu allgemeine Quellenangabe.
Es gibt neben Rüdiger Gamm noch Shyam Marathe, der in früheren Jahren hohe Potenzen auswendig konnte. Dieser gab den Hinweis, ein Zahlensystem mit einer Primzahl als Basis sei besser als das 10er, was das nun helfen sollte, kann ich bis anhin auch nicht sehen.
Können die normalen Zahlen die wir potenzieren, als Matrix dargestellt werden? Für Matritzenmultiplikation gibt es hübsche Tricks.
Es gibt neben Rüdiger Gamm noch Shyam Marathe, der in früheren Jahren hohe Potenzen auswendig konnte. Dieser gab den Hinweis, ein Zahlensystem mit einer Primzahl als Basis sei besser als das 10er, was das nun helfen sollte, kann ich bis anhin auch nicht sehen.
Können die normalen Zahlen die wir potenzieren, als Matrix dargestellt werden? Für Matritzenmultiplikation gibt es hübsche Tricks.
Hallo,
vielleicht findet ihr ja was ??
aber vielen Dank für deine Antwort !
versteh ich auch nicht ?? hab ein bisschen rumprobiert find aber nichts was das irgent wie einfacher ist oder so ...Es gibt neben Rüdiger Gamm noch Shyam Marathe, der in früheren Jahren hohe Potenzen auswendig konnte. Dieser gab den Hinweis, ein Zahlensystem mit einer Primzahl als Basis sei besser als das 10er, was das nun helfen sollte, kann ich bis anhin auch nicht sehen.
vielleicht findet ihr ja was ??
welche z.B. ??Können die normalen Zahlen die wir potenzieren, als Matrix dargestellt werden? Für Matritzenmultiplikation gibt es hübsche Tricks.
aber vielen Dank für deine Antwort !
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Das Problem beim Potenzieren mit einem Exponenten x ist, dass man eine Zahl x-mal mit sich selbst multiplizieren muss. Ist man lediglich in der Lage 2-ziffrige Zahlen elementar miteinander zu multiplizieren, so ergibt sich bei der x Potenz einer zweiziffrigen Zahl a eine Anzahl von (x-1)+(x-2)+...+1 = (x-1)*x/2 = (x^2 - x)/2 Multiplikationen, die durchgeführt werden müssen. Unter diese Zahl kommt man auch nicht! Das einzige, was man machen kann, ist, die Rechnung so umzuschreiben, dass auswendig Gelerntes verwendet werden kann, um Rechenarbeit zu sparen. Beispielsweise, anstatt bei 23^4 in der Schrittfolge 23*23 -> 529*23 -> 12167*23 -> 279841 zu rechnen, kann man auch x^4=(x^2)^2 rechnen: 23*23 -> 529 -> 5^2*10^4 + 2*5*29*10^2 + 29^2; von diesen 4 Multiplikationen (5, wenn man x2 dazurechnet) sind jedoch drei Quadrate von zweistelligen Zahlen, die man bereits auswendig beherrscht. Somit ist einsichtig, dass auswendig gelernte niedrige Potenzen die Berechnung hoher Potenzen beschleunigen können, was aber nicht bedeutet unter die theoretische Schranke von x*(x-1)/2 Multiplikationen zu kommen.
Noch ein Beispiel für die Zerlegung bei x^16:
angenommen, man kennt die 4. Potenz von zweistelligen Zahlen auswendig und muss die Zahl x in die 16. Potenz erheben.
x^4 sei e3 e2 e1 e0, wobei e3 z.b. für die 1. und 2. Ergebnisziffer von links steht (multipliziert mit Wertigkeit 10^6)
x^16 = (x^4)^4 = (e3 e2 e1 e0)^4 = e3^4 + e2^4 + e1^4 + e0^4 + 4*e3^3*(e2+e1 +e0) + 4*e2^3*(e3+e1+e0) + 4*e1^3*(e3+e2+e0)+4*e0^3*(e3+e2+e1) + 6*e3^2*(e2^2+e1^2+e0^2) + ...
Also ja, es ist nach wie vor ein Ungetüm, aber zumindest gibt es viele viele zeitaufwendige Rechenschritte, die man durch auswendig gelernte Potenzen überspringen kann.
Resumierend kann man nur sagen, dass die Machbarkeit im Kopf in vernünftiger Zeit (< 10 min) auch für die schnellsten Kopfrechner bis vielleicht zur 20. Potenz gegeben ist, wobei es hier noch einen Unterschied macht, ob die Potenz primzahlig ist oder günstigenfalls selbst eine Potenz von 2.
Betrachtet man die Geschwindigkeit, mit der Rüdiger Gamm seine Potenzen herunterspult, bin ich mir mit der Behauptung recht sicher, dass sie auswendig gelernt sind.
Weniger fürs Kopfrechnen, aber der Vollständigkeit wegen sei angemerkt, dass es doch eine Möglichkeit gibt, unter die Zahl x*(x-1)/2 an Multiplikationen zu kommen. Die Ausgangszahlen können einer diskreten Fast-Fourier-Transform unterworfen werden, die in Laufzeit (x/2)*log(x) möglich ist. Die Multiplikation kann an den Fouriertransformierten Ausgangszahlen in x Schritten durchgeführt werden (anstatt den (x^2-x)/2 ) ursprünglichen und anschließend zurücktransformiert werden. Dadurch ist die Anzahl der Schritte asymptotisch auf x*log x reduziert). Bei x^50, hätte man dann nicht mehr 1250 Multiplikationen, sondern vielleicht "nur" noch zwischen 300 und 400.
Da bei der Fouriertransformation aber trigonometrische Funktionen bzw. Exponentialfunktionen mit komplexen Exponenten auftreten, ist deren Anwendung fürs Kopfrechnen ein absolutes No-Go. Weil ich es selbst spannend finde, will ich trotzdem kurz darüber etwas schreiben.
Wenn man zwei Ausgangszahlen a = an + ... + a2 + a1 + a0 und b = bn + ... + b0 vorliegen hat.
Normalerweise müsste man bei einer Multiplikation jeden Ziffernblock von a mit jedem Ziffernblock von b multiplizieren ((n+1)^2 Multiplikationen)
Für die diskrete Fouriertransformation fasst man a und b jetzt als Zeilenmatrizen auf, wobei z.B. jeweils zwei aufeinanderfolgende Ziffern ai einen Eintrag der Matrix darstellen. Dann kann man diese durchführen und erhält neue Zeilenmatrizen, die eindeutig den ursprünglichen Zeilenmatrizen zuordenbar sind und genauso viele Einträge haben:
a_transformiert = xn | ... | x2 | x1 | x0
b_transformiert = yn | ... | y2 | y1 | y0
Jetzt muss lediglich "einträgeweise" die Zeilenmatrix 'a_transformiert' mit 'b_transformiert' multipliziert werden:
z = xn*yn | .... | x2*y2 | x1*y1 | x0*y0
Bei z handelt es sich dann wieder um eine Zeilenmatrix mit derselben Anzahl an Einträgen wie die ursprüngliche Zahl Ziffernblöcke hat.
Nun wird z durch die inverse Fourier-Transformation wieder zurücktransformiert und man erhält das Ergebnis der ursprünglich gefragten Multiplikation.
Viele Grüße,
proclaimer
Noch ein Beispiel für die Zerlegung bei x^16:
angenommen, man kennt die 4. Potenz von zweistelligen Zahlen auswendig und muss die Zahl x in die 16. Potenz erheben.
x^4 sei e3 e2 e1 e0, wobei e3 z.b. für die 1. und 2. Ergebnisziffer von links steht (multipliziert mit Wertigkeit 10^6)
x^16 = (x^4)^4 = (e3 e2 e1 e0)^4 = e3^4 + e2^4 + e1^4 + e0^4 + 4*e3^3*(e2+e1 +e0) + 4*e2^3*(e3+e1+e0) + 4*e1^3*(e3+e2+e0)+4*e0^3*(e3+e2+e1) + 6*e3^2*(e2^2+e1^2+e0^2) + ...
Also ja, es ist nach wie vor ein Ungetüm, aber zumindest gibt es viele viele zeitaufwendige Rechenschritte, die man durch auswendig gelernte Potenzen überspringen kann.
Resumierend kann man nur sagen, dass die Machbarkeit im Kopf in vernünftiger Zeit (< 10 min) auch für die schnellsten Kopfrechner bis vielleicht zur 20. Potenz gegeben ist, wobei es hier noch einen Unterschied macht, ob die Potenz primzahlig ist oder günstigenfalls selbst eine Potenz von 2.
Betrachtet man die Geschwindigkeit, mit der Rüdiger Gamm seine Potenzen herunterspult, bin ich mir mit der Behauptung recht sicher, dass sie auswendig gelernt sind.
Weniger fürs Kopfrechnen, aber der Vollständigkeit wegen sei angemerkt, dass es doch eine Möglichkeit gibt, unter die Zahl x*(x-1)/2 an Multiplikationen zu kommen. Die Ausgangszahlen können einer diskreten Fast-Fourier-Transform unterworfen werden, die in Laufzeit (x/2)*log(x) möglich ist. Die Multiplikation kann an den Fouriertransformierten Ausgangszahlen in x Schritten durchgeführt werden (anstatt den (x^2-x)/2 ) ursprünglichen und anschließend zurücktransformiert werden. Dadurch ist die Anzahl der Schritte asymptotisch auf x*log x reduziert). Bei x^50, hätte man dann nicht mehr 1250 Multiplikationen, sondern vielleicht "nur" noch zwischen 300 und 400.
Da bei der Fouriertransformation aber trigonometrische Funktionen bzw. Exponentialfunktionen mit komplexen Exponenten auftreten, ist deren Anwendung fürs Kopfrechnen ein absolutes No-Go. Weil ich es selbst spannend finde, will ich trotzdem kurz darüber etwas schreiben.
Wenn man zwei Ausgangszahlen a = an + ... + a2 + a1 + a0 und b = bn + ... + b0 vorliegen hat.
Normalerweise müsste man bei einer Multiplikation jeden Ziffernblock von a mit jedem Ziffernblock von b multiplizieren ((n+1)^2 Multiplikationen)
Für die diskrete Fouriertransformation fasst man a und b jetzt als Zeilenmatrizen auf, wobei z.B. jeweils zwei aufeinanderfolgende Ziffern ai einen Eintrag der Matrix darstellen. Dann kann man diese durchführen und erhält neue Zeilenmatrizen, die eindeutig den ursprünglichen Zeilenmatrizen zuordenbar sind und genauso viele Einträge haben:
a_transformiert = xn | ... | x2 | x1 | x0
b_transformiert = yn | ... | y2 | y1 | y0
Jetzt muss lediglich "einträgeweise" die Zeilenmatrix 'a_transformiert' mit 'b_transformiert' multipliziert werden:
z = xn*yn | .... | x2*y2 | x1*y1 | x0*y0
Bei z handelt es sich dann wieder um eine Zeilenmatrix mit derselben Anzahl an Einträgen wie die ursprüngliche Zahl Ziffernblöcke hat.
Nun wird z durch die inverse Fourier-Transformation wieder zurücktransformiert und man erhält das Ergebnis der ursprünglich gefragten Multiplikation.
Viele Grüße,
proclaimer
Hallo ,
Das will ich auch machen aber erst später ... wenn ich das multipliezieren
wirklich gut kann also so gut das ich es fast auswendig kann
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ..... + x
oder ?
hatt aber er kann nicht alle potenzen von 1-50 auswendig gelernt haben !
aber das meiste wird er wirklich gelernt haben ...
und den rest setzt er wohl so zusammen .....
danke für eure antworten !!
Ist sehr interessant !
mit praxis meinst du das du selbst das potenzieren üben wilst ?Beim Matrizenrechnen hört meine Mathe auf, mit den Potenzen mach ich nun mal den Schritt von der Theorie in die Praxis- sonst lerne ich es ja nie
Very Happy höher als die sechste gehe ich erstmal nicht. Scheint mir genug für einen Start.
Cool
Das will ich auch machen aber erst später ... wenn ich das multipliezieren
wirklich gut kann also so gut das ich es fast auswendig kann
(x^2-x)/2 = ist glaub ich das gleiche wie :Ist man lediglich in der Lage 2-ziffrige Zahlen elementar miteinander zu multiplizieren, so ergibt sich bei der x Potenz einer zweiziffrigen Zahl a eine Anzahl von (x-1)+(x-2)+...+1 = (x-1)*x/2 = (x^2 - x)/2 Multiplikationen, die durchgeführt werden müssen. Unter diese Zahl kommt man auch nicht!
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ..... + x
oder ?
---> (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 ---> erster Binom23*23 -> 529 -> 5^2*10^4 + 2*5*29*10^2 + 29^2
---> (x+y)^4 = x^4 + 4*x^3*y + 6*x^2*y^2 + 4*x*y^3 + x^4x^16 = (x^4)^4 = (e3 e2 e1 e0)^4 = e3^4 + e2^4 + e1^4 + e0^4 + 4*e3^3*(e2+e1 +e0) + 4*e2^3*(e3+e1+e0) + 4*e1^3*(e3+e2+e0)+4*e0^3*(e3+e2+e1) + 6*e3^2*(e2^2+e1^2+e0^2) + ...
ich glaube zwar auch das er eine ziemliche menge auswendig gelerntBetrachtet man die Geschwindigkeit, mit der Rüdiger Gamm seine Potenzen herunterspult, bin ich mir mit der Behauptung recht sicher, dass sie auswendig gelernt sind.
hatt aber er kann nicht alle potenzen von 1-50 auswendig gelernt haben !
aber das meiste wird er wirklich gelernt haben ...
und den rest setzt er wohl so zusammen .....
danke für eure antworten !!
Ist sehr interessant !
-i/1 = -i
1/-i = i
1/-i = i
Hallo Proclaimer
Danke für den Einblick, mit der Fourier- Transformation befasse ich mich gerne mal, einfach so als mathematisches "Schmankerl".
Rüdiger sagt selber in der ausführlichen SWR"- Dokumentation, wenn er etwas hunderte Male gerechnet habe gehe es von selbst und er könne so immer mehr Potenzen (als Resultat). Da hat er sicher einen massiven Lernvorteil im (schnellen) Lernen.
Danke für den Einblick, mit der Fourier- Transformation befasse ich mich gerne mal, einfach so als mathematisches "Schmankerl".
Rüdiger sagt selber in der ausführlichen SWR"- Dokumentation, wenn er etwas hunderte Male gerechnet habe gehe es von selbst und er könne so immer mehr Potenzen (als Resultat). Da hat er sicher einen massiven Lernvorteil im (schnellen) Lernen.
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Hallo RetoCH,
Ich hab tatsächlich noch etwas entdeckt.
Meine Behauptung, dass die Anzahl der Multiplikationen immer mit n^2 steigen muss, war nicht richtig. Im Artikel "Multiplication Algorithm" auf der englischen Wikipedia findet man im Abschnitt "Fast multiplication algorithms for large input" interessante Informationen dazu. Der Spitzenreiter dort basiert auf der erwähnten Fourier-Transformation mit der Laufzeit n*log n. Es gibt zwischen der langsamen Kreuzmultiplikation (n^2) und der 'Fourier-Multiplikation' (n log n) noch einen weiteren Algorithmus mit einer Anzahl an Multiplikationen von n^(1,6), der für das Kopfrechnen brauchbar erscheint. Braucht man für die Multiplikation zweier 4-stelliger Zahlen normalerweise 4 Multiplikationen, so sind es mit diesem Algorithmus nur 3 (~2^(1,6)). Dieser Algorithmus wird von Ron Doerfler in einer bereits für das Kopfrechnen aufbereiteten Form in folgender pdf-Datei beschrieben: http://www.myreckonings.com/Dead_Reckon ... ations.pdf
Ich habe mir jetzt auch angeschaut, was dieser Multiplikationsalgorithmus für das Ausrechnen der 8. Potenz leisten kann und mit der Standardmethode verglichen.
herkömmliches Ausrechnen einer 8. Potenz einer zweiziffrigen Zahl x0 (Q=Quadrieren einer 2-ziffrigen Zahl; M=Multiplizieren einer 2-ziffrigen Zahl)
x1=x0^2 -> 1Q
x2=x1^2 -> 2Q, 1M
x3=x2^2 -> 4Q, 6M
Man muss also 7x quadrieren und 7x multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten.
Für den schnelleren Algorithmus ergibt sich folgendes Bild:
x1=x0^2 -> 1Q
x2=x1^2 -> 3Q
x3=x2^2 -> 9Q
Es ist zu sehen, dass keine einzige(!) Multiplikation auftritt. Lediglich Additionen von Quadraten zweistelliger Zahlen sind notwendig, die man fürs Kopfrechnen vielleicht sowieso schon auswendig beherrscht. Die schwierigste Addition, die vorkommt, ist jene von zwei vierstelligen Zahlen. Für Bleistift-und-Papier-Rechnung ist dieser Algorithmus somit definitiv dem Standardvorgehen überlegen. Ein Nachteil ist jedoch, dass mehr Ziffern als Zwischenergebnisse im Kopf behalten werden müssen. Muss das Ergebnis nicht gemerkt werden, sind es beim Standardvorgehen im schwierigsten Schritt ca. 16 Ziffern, beim schnelleren Algorithmus vermutlich eher 25
So oder so, man muss sich bewusst sein, dass die 8. Potenz kein Zucker schlecken ist und es schwierig bleibt. Die Schwierigkeit wird von der Berechnung auf das Merken verschoben. Allerdings kann man dem Merkproblem nötigenfalls mit Mnemotechnik zu Leibe rücken.
Viele Grüße,
proclaimer
Ich hab tatsächlich noch etwas entdeckt.
Meine Behauptung, dass die Anzahl der Multiplikationen immer mit n^2 steigen muss, war nicht richtig. Im Artikel "Multiplication Algorithm" auf der englischen Wikipedia findet man im Abschnitt "Fast multiplication algorithms for large input" interessante Informationen dazu. Der Spitzenreiter dort basiert auf der erwähnten Fourier-Transformation mit der Laufzeit n*log n. Es gibt zwischen der langsamen Kreuzmultiplikation (n^2) und der 'Fourier-Multiplikation' (n log n) noch einen weiteren Algorithmus mit einer Anzahl an Multiplikationen von n^(1,6), der für das Kopfrechnen brauchbar erscheint. Braucht man für die Multiplikation zweier 4-stelliger Zahlen normalerweise 4 Multiplikationen, so sind es mit diesem Algorithmus nur 3 (~2^(1,6)). Dieser Algorithmus wird von Ron Doerfler in einer bereits für das Kopfrechnen aufbereiteten Form in folgender pdf-Datei beschrieben: http://www.myreckonings.com/Dead_Reckon ... ations.pdf
Ich habe mir jetzt auch angeschaut, was dieser Multiplikationsalgorithmus für das Ausrechnen der 8. Potenz leisten kann und mit der Standardmethode verglichen.
herkömmliches Ausrechnen einer 8. Potenz einer zweiziffrigen Zahl x0 (Q=Quadrieren einer 2-ziffrigen Zahl; M=Multiplizieren einer 2-ziffrigen Zahl)
x1=x0^2 -> 1Q
x2=x1^2 -> 2Q, 1M
x3=x2^2 -> 4Q, 6M
Man muss also 7x quadrieren und 7x multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten.
Für den schnelleren Algorithmus ergibt sich folgendes Bild:
x1=x0^2 -> 1Q
x2=x1^2 -> 3Q
x3=x2^2 -> 9Q
Es ist zu sehen, dass keine einzige(!) Multiplikation auftritt. Lediglich Additionen von Quadraten zweistelliger Zahlen sind notwendig, die man fürs Kopfrechnen vielleicht sowieso schon auswendig beherrscht. Die schwierigste Addition, die vorkommt, ist jene von zwei vierstelligen Zahlen. Für Bleistift-und-Papier-Rechnung ist dieser Algorithmus somit definitiv dem Standardvorgehen überlegen. Ein Nachteil ist jedoch, dass mehr Ziffern als Zwischenergebnisse im Kopf behalten werden müssen. Muss das Ergebnis nicht gemerkt werden, sind es beim Standardvorgehen im schwierigsten Schritt ca. 16 Ziffern, beim schnelleren Algorithmus vermutlich eher 25
So oder so, man muss sich bewusst sein, dass die 8. Potenz kein Zucker schlecken ist und es schwierig bleibt. Die Schwierigkeit wird von der Berechnung auf das Merken verschoben. Allerdings kann man dem Merkproblem nötigenfalls mit Mnemotechnik zu Leibe rücken.
Viele Grüße,
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Viele Zwischenrechnungen lassen sich nicht vermeiden, wenn man sie wirklich rechnet und nicht auswendig gelernt hat. Und ja, wenn mit höheren Potenzen 'hoch 30' oder 'hoch 50' gemeint ist, dann ist ein Rechnen(!) im Kopf unmöglich. Ich meine hier mit höheren Potenzen eher etwas bis maximal 'hoch 10'.
Höhere Potenzen würde ich auch nie direkt durch die binomische Formel ausrechnen!
Das ergibt gleich mehrere Probleme:
1) man braucht anfangs viel Übung und Konzentration, damit man keinen Term vergisst.
2) die Terme z.B. bei (a+b+c)^3 sind Produkte aus drei Zahlen. Wenn man auf zweiziffrigen Zahlen operiert, ergeben sich bis zu 7-stellige Ergebnisse (wegen dem x3) und damit bis zu 4-stellige Überträge.
Ich habe die Erfahrung gemacht, dass alle Vorgehensweisen, bei denen man eine große Anzahl an Ziffern im Kopf behalten muss und sich davon viele in kürzester Zeit beim Fortschritt in der Rechnung ändern, ungeeignet sind.
Für mich funktioniert das Potenzieren am besten mit klar definierten Stufen. Jede Stufe enthält zu beginn ein Rechenproblem und endet mit dem Ergebnis dazu. Der Input der nächsten Stufe ist dann dieses Ergebnis. Innerhalb jeder Stufe soll die Größe der Zwischenergebnisse (rasch ändernde Zahlen) minimal sein.
Die Basisrechenprobleme, die ich für Potenzen zulasse sind ausschließlich Kreuzmultiplikationen, die sich für (a + b + c)^2 sehr vereinfachen.
z.B.
368359^3 = (36 83 59)^3
+++ Stufe 1 +++
(36 83 59)^2 = ?
59^2 = 34 81
83*59*2 + 34 = 98 28
36*59*2 + 83^2 + 98 = 112 35
36*83*2 + 112 = 60 88
36^2 + 60 = 13 56
Result: 13 56 88 35 28 81
(jetzt kann man kurz verschnaufen und sollte sich Zeit nehmen, dieses erste Ergebnis gut einzuprägen, z.B. auf eine Route legen)
+++ Stufe 2 +++
(13 56 88 35 28 81) * (36 83 59)
Die Kreuzmultiplikation erspare ich mir jetzt...
Mein Punkt ist, dass sie machbar ist, sofern man diese Angabezahlen im Kopf behalten kann. Der Faktor Zeit sollte bei solchen Experimenten denke ich vorerst keine Rolle spielen. Einfach ausprobieren und sehen, wie weit man kommt.
Selbst für mich noch nicht umgesetzt, aber denkbar durchaus praktisch für solche Aufgabe ist ein mnemotechnisches Raster: http://www.brainboard.eu/phpbb/viewtopi ... lindschach
Legt man hier die Ziffernblöcke der Multiplikanden ab, dann spiegelt deren Position direkt deren Wertigkeit (10^n) wider und Wertigkeiten sind so ziemlich das Grundlegendste, was man beim Kopfrechnen im Kopf behalten sollte.
Kann man obige Rechnung meistern, ist man in der Lage eine zweiziffrige Zahl in die 9. Potenz zu erheben. Das ist doch schon gar nicht mal so schlecht.
Ehrlicherweise will ich auch sagen, dass ich dieses Beispiel jetzt nur aufgegriffen habe. Ich selbst habe noch nie versucht eine sechsstellige Zahl in die dritte Potenz zu erheben, auch wenn ich überzeugt bin, dass es mit obigem Vorgehen und Mnemotechnik funktionieren würde, wenn man genug Konzentration und Sicherheit besitzt, um keinen Flüchtigkeitsfehler einzbauen. Für mich persönlich würde eine solche Rechnung einen Zeitaufwand von einer halben Stunde bedeuten, womit sich das ganze weder zur Showmathematik eignet noch zum praktischen Einsatz. Es kann lediglich ein Experiment sein, das Möglichkeiten aufzeigt und auslotet.
Viele Grüße,
proclaimer
Höhere Potenzen würde ich auch nie direkt durch die binomische Formel ausrechnen!
Das ergibt gleich mehrere Probleme:
1) man braucht anfangs viel Übung und Konzentration, damit man keinen Term vergisst.
2) die Terme z.B. bei (a+b+c)^3 sind Produkte aus drei Zahlen. Wenn man auf zweiziffrigen Zahlen operiert, ergeben sich bis zu 7-stellige Ergebnisse (wegen dem x3) und damit bis zu 4-stellige Überträge.
Ich habe die Erfahrung gemacht, dass alle Vorgehensweisen, bei denen man eine große Anzahl an Ziffern im Kopf behalten muss und sich davon viele in kürzester Zeit beim Fortschritt in der Rechnung ändern, ungeeignet sind.
Für mich funktioniert das Potenzieren am besten mit klar definierten Stufen. Jede Stufe enthält zu beginn ein Rechenproblem und endet mit dem Ergebnis dazu. Der Input der nächsten Stufe ist dann dieses Ergebnis. Innerhalb jeder Stufe soll die Größe der Zwischenergebnisse (rasch ändernde Zahlen) minimal sein.
Die Basisrechenprobleme, die ich für Potenzen zulasse sind ausschließlich Kreuzmultiplikationen, die sich für (a + b + c)^2 sehr vereinfachen.
z.B.
368359^3 = (36 83 59)^3
+++ Stufe 1 +++
(36 83 59)^2 = ?
59^2 = 34 81
83*59*2 + 34 = 98 28
36*59*2 + 83^2 + 98 = 112 35
36*83*2 + 112 = 60 88
36^2 + 60 = 13 56
Result: 13 56 88 35 28 81
(jetzt kann man kurz verschnaufen und sollte sich Zeit nehmen, dieses erste Ergebnis gut einzuprägen, z.B. auf eine Route legen)
+++ Stufe 2 +++
(13 56 88 35 28 81) * (36 83 59)
Die Kreuzmultiplikation erspare ich mir jetzt...
Mein Punkt ist, dass sie machbar ist, sofern man diese Angabezahlen im Kopf behalten kann. Der Faktor Zeit sollte bei solchen Experimenten denke ich vorerst keine Rolle spielen. Einfach ausprobieren und sehen, wie weit man kommt.
Selbst für mich noch nicht umgesetzt, aber denkbar durchaus praktisch für solche Aufgabe ist ein mnemotechnisches Raster: http://www.brainboard.eu/phpbb/viewtopi ... lindschach
Legt man hier die Ziffernblöcke der Multiplikanden ab, dann spiegelt deren Position direkt deren Wertigkeit (10^n) wider und Wertigkeiten sind so ziemlich das Grundlegendste, was man beim Kopfrechnen im Kopf behalten sollte.
Kann man obige Rechnung meistern, ist man in der Lage eine zweiziffrige Zahl in die 9. Potenz zu erheben. Das ist doch schon gar nicht mal so schlecht.
Ehrlicherweise will ich auch sagen, dass ich dieses Beispiel jetzt nur aufgegriffen habe. Ich selbst habe noch nie versucht eine sechsstellige Zahl in die dritte Potenz zu erheben, auch wenn ich überzeugt bin, dass es mit obigem Vorgehen und Mnemotechnik funktionieren würde, wenn man genug Konzentration und Sicherheit besitzt, um keinen Flüchtigkeitsfehler einzbauen. Für mich persönlich würde eine solche Rechnung einen Zeitaufwand von einer halben Stunde bedeuten, womit sich das ganze weder zur Showmathematik eignet noch zum praktischen Einsatz. Es kann lediglich ein Experiment sein, das Möglichkeiten aufzeigt und auslotet.
Viele Grüße,
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