Schnelle Division

Wozu unser Gehirn in der Lage ist zeigen nicht nur phantastische Gedächtnisleistungen, sondern auch Spitzenfähigkeiten z.B. beim Kopfrechnen. Über diesbezügliche Techniken und Leistungen wird hier diskutiert.

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Gawd
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Schnelle Division

Beitrag von Gawd »

Hallo,

kennt jemand eine Methode, wie man schnell dividieren kann? Bisher waren, die Sachen die ich gefunden habe noch nicht wirklich befriedigend. Ich suche so eine Methode wie beim Multiplizieren mit Referenzzahl.

Gruß

Gawd
PeterH
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Beitrag von PeterH »

Hallo,

ich habe mir vor einem Monat das exzellente Buch "Dead Reckoning" von Ronald W. Doerfler gekauft, das schon ab und zu in diesem Forum erwähnt wurde. Die zentralen schnellen Methoden zur Division kann ich ja kurz erklären:

1. Anpassen des Restes
Wenn ich z.B. 2819 durch 98 teile, kann ich so rechnen:
2819 / 100 ist 28, Rest 19.
Wenn ich durch 98 teilen würde und weiterhin den Quotienten 28 annehmen würde, käme ein größerer Rest heraus, nämlich
19 (der alte Rest) + 2 (Differenz von 100 und 98) * 28 (der Quotient), macht also 75. Mit diesem Quotienten fahre ich fort: Wie gewöhnlich multipliziere ich ihn erst einmal mit 10; macht 750. Weiter geht's mit der Divison durch 100:
750 / 100 = 7 R 50
Der "angepasste" Rest ist 50 + 7 * 2 = 64
640 / 100 = 6 R 40
Angepasst: 40 + 6 * 2 = 52
520 / 100 = 5 R 20
usw...
Das Ergebnis ist also 28,765...

Wenn ich die 98 durch die 101 ersetze, müsste ich beim Anpassen des Restes so vorgehen: Angenommen, ich habe irgendwann die Zahl 234.
234 / 100 = 2 R 34
Neuer Rest: 34 + 2 * (-1) = 32


2. Diese Methode ist fast exakt die von Nr. 1, aber der Algorithmus ist noch einfacher:
Ich will 328 durch 79 teilen. Ich nehme 80 statt 79; statt 328 / 80 rechne ich 32,8 / 8, macht 4 R 0,8. Den Rest mal 10 und jetzt erst anpassen, also 8 + 4, macht 12. 12 durch 8 macht 1 R 4; 4 * 10 + 1 = 41 usw. Man erhält 4,15...

Teilt man durch 81, muss man beim Anpassen subtrahieren:
32,8 / 8 = 4 R 0,8
10 * 0,8 - 4 = 4
4 / 8 = 0 R 4
10 * 4 - 0 = 40
40 / 8 = 4 R 8
10 * 8 - 4 = 76
76 / 8 = 9 R 4

also 328 / 81 = 4,049...
Wenn eine Teildivision in diesem Fall (also beim Teilen durch 71, 81, etc.) exakt aufgeht (z.B. 40 / 8), nimmt man nicht das "eigentliche" Ergebnis, sondern das eins darunter (außer natürlich, man hat 0 / 8, dann hört die Divison ja auf), damit man auf keine negativen Reste kommt.

Dieses Verfahren kann man natürlich auch auf die Divison z.B. durch 78 oder durch 23 oder 34 etc. anwenden, indem man einfach den Rest entsprechend anpasst.
Beispiel: 14 / 23
14 / 2 = 6 R 2
10 * 2 - 6 * 3 = 2
2 / 2 = 0 R 2
10 * 2 - 0 * 3 = 20
20 / 2 = 8 R 4
10 * 4 - 8 * 3 = 16 usw.
Man erhält 14 / 23 = 0,608...


3. Zur näherungsweisen Berechnung muss man kreativ sein... Beispiel: Ich will 387 / 769 annähern. Man stellt fest (Wunder über Wunder), dass 769 ungefähr 387 * 2 ist. Also passt man die 769 zu 770 an, muss dafür die 387 um den gleichen Prozentsatz erhöhen, also um 1/2. Damit muss ich nur noch 387,5 / 770 ausrechnen. Die Division durch 7 und dann durch 11 sollte im Kopf möglich sein ;-) Macht also 5,5357 / 11, das ist ungefähr 0,50325... Vergleichen mit dem wahren Wert von 387 / 769 = 0,50325098 ist das ziemlich gut. Natürlich ist das Beispiel fingiert, aber die Methode funktioniert.

4. Es gibt ein Divisionsverfahren nach Fourier, mit dem man Divisionen mehrstelliger Zahlen in angemessener Zeit bewerkstelligen kann; Doerfler nennt das Verfahren "cross division". Es ist aber etwas komplizierter und umfangreicher, ich gebe ein Beispiel, vielleicht kommst du von selbst auf die Methode. Die Darstellung der Methode ist nämlich etwas umständlich.
42 47 24 82 durch 87 49 21 soll berechnet werden.

b1 = 42 47 / 87 = 49 R1 = -16
Quotient bis jetzt: 49

b2 = ((-16*100 + 24) - 49 * 49) / 87 = -46 R2 = 25

b3 = ((25*100 + 82) - (-46)*49 - 49*21) / 87 = 44 R3 = -21

b4 = (-21*100 - 44 * 49 - (-46) * 21) = -38 R4 = 16

b5 = (16*100 - (-38)*49 - 44*21) / 87 = 29 R5 = 15

Zusammenfügen der b's macht
49 -46 44 -38 29
48 54 43 62 29
Komma setzen:
48,54436229... als Ergebnis. Wurschtel dich durch, das Verstehen sollte machbar sein, hoffe ich ;-)


Hoffentlich hilft dir das!

Eine Frage noch:
Multiplizieren mit Referenzzahl
Was meinst du damit?

Beste Grüße,
Peter
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Gawd
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Beitrag von Gawd »

Hallo,

werde die Methode mal testen (habe das Buch auch, hatte mir das aber noch nicht durchgelesen).
Multiplikation mit Referenzzahl: Du hast z.B. folgende Aufgabe:

13x17

Die Referenzzahl wäre in diesem Fall die 10.
Sprich Du kannst 17 + 3 oder 13 + 7 (jeweil die 10 weggelassen von der zu addierenden Zahl).
Dann bekommst Du 20. Das multiplizierst Du mit der Referenzzahl (10) und bekommst 200. Dann nur noch die Ziffern (3 und 7) miteinander multiplizieren und Du addierst das Ergebnis zu Deinem vorherigen Ergebnis (200 + 21) = 221
So multipliziere ich relativ schnell.

Gruß

Gawd
PeterH
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Beitrag von PeterH »

Dieser 8) -Smiley sollte 8 und ) sein, fällt mir gerade auf =) Sollte aber klar geworden sein. Die von Dir beschriebene Multiplikationsmethode benutze ich auch sehr gerne, aber Vergleichliches kenne ich für eine Divison leider nicht...
78
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Beitrag von 78 »

PeterH von 78 modifiziert hat geschrieben: Beispiel: 14/23, d=2
an/d = 14/2 = 6, rn=2, an=10*2-6*3=2
an/d = 2/2 = 0 rn=2, an=10*2-0*3=20
...
das verstehe ich nicht. geht die division auf, nimmt man eins weniger. aber wieso ist 2/2 dann nicht 1, rn=1 und an=10*1-1*3=7 die neue Ausgangszahl?
78
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Beitrag von 78 »

in der echten rechnung steht 20:23. das ergibt null. daher auch 2/2=0. kann man den algorithmus sauber formulieren?
Zuletzt geändert von 78 am Fr 14. Sep 2007, 9:59, insgesamt 1-mal geändert.
PeterH
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Beitrag von PeterH »

aber wieso ist 2/2 dann nicht 1, rn=1 und an=10*1-1*3=7 die neue Ausgangszahl?
Weil 2/2 gleich 1 Rest 0 ist. Du hast rn = 1 geschrieben, das ist natürlich nicht richtig :wink:
Du könntest 2/2 gleich 1 Rest 0 nehmen, dann wäre aber
an = 10 * 0 - 1 * 3 = -3
Folglich müsstest du danach z.B. rechnen
an/d = -3 / 2 = -2, rn = 1, an = 10*1 - 2 * 3 = 16

Als Ergebnis hättest du dann
...1 -2 ...
Das müsste man umschreiben in
... 0 8 ...
Um sich dieses Umschreiben zu ersparen, nimmt man eben eins weniger.
Manchmal muss man auch zwei weniger nehmen:

Die Division 14/23 wird fortgesetzt; an ist jetzt 16 (siehe oben).
an/d = 16 / 2 = 6, rn = 4; an = 10 * 4 - 6 * 3 = 22.
an/d = 22 / 2 = 9, rn = 4, an = 10 * 4 - 9 * 3 = 13 usf.

Ist das verständlich geworden? :?
PeterH
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Vereinfachung

Beitrag von PeterH »

Was einem fast sämtliche Mühen und Probleme erspart, ist natürlich, wenn man 14 / 23 mit 3 erweitert und 42 / 69 erhält. Die Division durch eine Zahl, die auf 9 endet, erfordert keinerlei verrückte Anpassungen oder Änderungen von irgendwelchen Quotienten, wie man sie bei 14/23 benötigt (siehe letzter Post).
14 / 27 könnte man auch mit 3 erweitern, um 42 / 81 zu erhalten. Bei der Division durch eine Zahl, die auf 1 endet, muss man nur aufpassen, wenn eine Divison exakt aufgeht, aber das habe ich ja bereits schon irgendwo oben geschrieben.
Da eine Divison durch ...3 durch Erweiterung mit 3 auf eine Divison durch ...9 "zurückgeführt" werden kann und eine Divison durch ...7 durch Erweiterung mit 3 auf eine durch ...1, kann man sich so alle Probleme ersparen. Division durch 5 bzw. durch 2 kann man benutzen, um 41/26 auf 20,5 / 13 und dann (Erweiterung mit 3) auf 61,5 / 39 zurückzuführen.

Ich persönlich habe die Erfahrung gemacht, dass, insbesondere, wenn man vier- durch zweistellige Zahlen teilt (z.B. 4923 / 62) die Anpassungsmethode (also wirklich durch 62 zu teilen, nicht z.B. 2461,5 / 31 zu berechnen) schneller ist.

Was mir an dieser Stelle noch einfällt: 14 / 27 ist, erweitert mit 37, das gleiche wie 518 / 999; das ist aber sehr einfach, nämlich 0,518518518...
Ebenso könnte man 17/19 mit 21 erweitern, man erhält dann 357 / 399. Hier kann man dann
an/d = 357 / 40 = 8, rn = 37, an = 37 * 10 + 8 = 378
an/d = 378 / 40 = 9, rn = 18, an = 18 * 10 + 9 = 189
an/d = 189 / 40 = 4, rn = 29, an = 29 * 10 + 4 = 294 etc... rechnen.

17/19 = 0,894...
78
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Beitrag von 78 »

PeterH hat geschrieben: Weil 2/2 gleich 1 Rest 0 ist. Du hast rn = 1 geschrieben, das ist natürlich nicht richtig
ja danke. das geht natürlich nicht.
PeterH
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Quatsch

Beitrag von PeterH »

Mir fällt gerade auf, dass das Beispiel 17 / 19 totaler Müll ist, weil man das auch so einfach ausrechnen kann :oops:
Hmm... Aber wenn man z.B. 12 / 47 berechnen, will, erweitert man mit 17 und erhält 204 / 799. Da kann man jetzt wieder rechnen =)
Die Motivation dazu, das hier überhaupt zu schreiben, habe ich aus irgendeiner Internet-Seite, wo steht, dass Alex Craig Aitken irgendeine Division durch 67 ausführen sollte, irgendwie sowas wie
43 / 67.
Er dachte sich einfach, "erweitere ich mal mit 597"... Dachte er sich, hat's auch direkt getan, ergab dann
25671 / 39999, was auch tatsächlich ein Normalsterblicher schnell berechnen kann. Das ist natürlich etwas "krank", aber was soll's... Ich würde jedenfalls 43 / 67 nicht auf diese Weise "vereinfachen" :D
78
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Re: Vereinfachung

Beitrag von 78 »

Hallo Peter, danke für Deine ausführlichen Informationen. Die Methode gefällt mir. Ich werde jetzt mal etwas üben...
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@Senna1986
@RetoCH

bin wieder da. Nach dem schönen Urlaub hat mich die Krankheit erwischt.
Senna, Dein 1. Beispiel 316/19 ist gut. Die Methode deckt sich mit dem was
Menninger als "Schwellenwertmethode" beschreibt. Die "indische Methode" klappt
übrigens auch, wenn die Endziffer eine 8 ist. Man muß nur den Rest entsprechend
korrigieren. Schau mal in diesem Thread nach, wo PeterH die Methoden beschrieben hat.
Ob Du allerdings dann noch auf "indischem Boden" bist, weiß ich nicht.
Bei Endziffer '9' ist Deie Methode rasent schnell, sofern man die erste
Zerlegung (3295:18=183 Rest 1/18 ) schnell hinschreiben kann.
1/18 würde ich so behandeln (falls man im folgenden 20 noch zu Ekhadika 2 ummodeln kann) :

1:18 = 0,0...damit
100:20 = 5 Rest 0 (somit 0,05....)
jetzt 100 - 5*20 + 5*2 (=Korrektur!!) = 10. Nächste "0 runterziehen" ergibt wieder 100.
100:20 = 5 Rest 0 (somit 0,055...) etc. Also Periode 5
(Da die 8 zur 10 eine Abweichung von 2 hat, muß die letzte Ziffer mit 2 multipliziert werden,
und das Produkt als Korrektur behandelt werden. Dann funktioniert alles.)

Anmerkung : Bei 1/18 würde man natürlich erst durch 2 dividieren (=0,5) und dann durch 9.
Das ergibt Periode 5 schneller.)


Dein 2.Beispiel finde ich sehr interessant (257/42 mittels "Kreuzmultiplikation")
Was sagen Deine Bücher, wenn die Länge des Divisors 3 oder 4-stellig ist ?
Das würde mich interessieren, weil ich mich mit dieser Divisions-Methode z.Zt. eingehender
beschäftige.

Ein Programm zum üben benutze ich nicht, Senna. Momentan multipliziere ich zwei
mehrstellige Zahlen und versuche einen Faktor per "Kreuz-Division "wiederzufinden,
da diese Methode nicht ganz einfach ist.(Finde ich jedenfalls !)

Als Methode habe ich mich für die "rückwärtige einziffrige Kreuzmutliplikation" entschieden.
Meine Antiquität (Ferrol, 1913 (!!), Rechenkünstler in seiner Zeit) hat als Eingangsbeispiel
75484608:9143 das vorgeführt und diese Methode auf 60 Seiten ausgeführt. Nicht ganz einfach.

Was neuere Bücher / eBooks hier empfehlen, weiß ich nicht. Bin aber sehr daran interessiert.
Ron Dörfler macht hier leider einen "Quantensprung" indem er direkt "zweiziffrig" rückwärts rechnet.
Für mich etwas unlogisch, da ich (meistens) die Kreuzmultiplikation einziffrig mache.

Vielleicht gibt es ja noch andere Methoden, falls der Divisor 3 oder 4 stellig ist ?

viele grüße
zeta3
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

@Zeta3: ganz gute Besserung wünsche ich!

Divisionen durch eine vier- oder noch höherstellige Zahl funktionieren mit Korrektur des Restes oder der arg kniffligen Kreuzmethode, verglichen mit der Kreuzmultiplikation sind die ein Mehrfaches schwieriger. Willem Bouman scheint diese ebenfalls nicht zu benutzen, dh. er arbeitet mit mehrstelliger Division und berechnet dann den bleibenden mehrstelligen (!) Restwert.
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

#3965 der Yahoo-Gruppe, von Willem Bouman vorgerechnetes Beispiel:
468 592 413 653 ÷ 9076



468 ÷ 90 = 5 r 18 asf (Answer so far) 5

185 - 5×7 = 150 ÷ 90 = 1 r 60 asf 51

609 - 1 × 7 - 5 × 6 = 572 ÷ 90 = 6 r 32 asf 516

322 - 6 × 7 - 1×6 = 274 ÷ 90 = 2 r 94 asf 5162

944 - 2×7-6×6= 894 ÷ 90 = 9 r 84 asf 51629

841 - 9×7-2×6 = 766 ÷ 90 = 8 r 46 asf 516298

463 - 8×7-9×6 = 353 ÷ 90 = 3 r 83 asf 5162983

836 - 3×7-8×6= 767 ÷ 90 = 8 r 47 asf 51629838 ( now I go to work for the

remainder as I have now 8 digit answer)

475 - 8×7-3×6 = 401 ÷ 90 = 4 r 41 asf 51629838,4

413 - 4×7-8×6= 337 ÷ 90 = 3 r 67 asf 51629838,43

670 - 3×7-4×6 = 625 ÷ 90 = 6 r 85 asf 51629838,436

850 - 6×7-3×6= 790 ÷ 90 = 8 r 70. asf 51629838,4368.
[/quote]
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@RetoCH : Vielen Dank, Reto, für Deine Genesungswünsche. Ich kann sie gut gebrauchen.

Ebenso vielen Dank für das tolle Beispiel von Willem Bouman (= WB im folgenden),
das Du eingestellt hast. Er hat das superhaft hingeschrieben. Für mich ist das
eindeutig die "Kreuz-Methode" (= rückwärtige Kreuzmultiplikation) ! Ich habe es auf
Anhieb, dank meines Ferrols, verstanden. WB denkt sich den Divisor 9076 einfach als 90|7|6.
Im Grunde macht WB einen 4-stelligen Divisor "DREI-stellig".
Ob man das jetzt als "einziffrige" oder "zweiziffrige" rückwärtige Kreuzmultiplikation
hält, wäre Haarspalterei. Für mich sieht sein Rechenweg so aus :

Man schreibt die Divisionsaufgabe so hin, wie man es bei der Kreuzmultiplikation tut. Also :

abcdef....(= gesuchter Quotient)
90|7|6....(= Divisor )
-------------------------------
468 592 413 653...(= Dividend)

(Das abcdef.. ist jetzt von mir. Bei Ferrol sind das "????". Einfach die berechneten Quotientenziffern.)
Ich brauche diese Darstellung, damit ich die symmetrischen Kreuze sehe ! Sonst bin ich verloren !!!)
Ferrol argumentiert dann die ersten 3 Zeilen von WB in etwa so :

Die 468 sind offenbar 90 mal a plus einem Rest (Rest = Übertrag aus Sicht der Kreuzmultiplikation !)
468 = 90*a + R; also a=5 und R=18.
An R hängt man jetzt die nächste Dividendenziffer "5" dran und erhält 185. Diese müssen sich ergeben aus
7*5 (=7*a) plus 90*b plus einem neuen Rest. Also :
185 = 7*5 + 90*b + Rest, d.h. 150/90 = 1 Rest 60. Somit b = 1. (nur minimal anders geschrieben wie bei WB)

(Sprachliche Anmerkung für das weitere :
Die 185 nennt Ferrol "Roh-Rest"; die Produkt(e) 7*5 nennt er "Ergänzungsprodukte", da sie auf der rechten Seite stehen. )

Aus der 60 werden 609 (= anhängen der nächsten Dividendenziffer "9"). Und jetzt das symmetrische Kreuz (!!!) :
609 = 1*7 + 5*6 + 90*c + Rest, d.h. 572/90 = 6 Rest 32. Also c=6.

Ab jetzt verschiebt sich nur noch das symmetrische Kreuz. Ferrol sagt, bei einem
3-stelligen Divisor hat man es (maximal) nur mit 2 Ergänzungsprodukten zu tun.
(Bei Divisorlänge 4 nur mit drei, bei Länge 2 nur mit 1, etc.)

WB hat diesen Sachverhalt -wie ich finde- sehr gut hingeschrieben :

Die Ziffer "7" des Divisors (90|7|6) wird immer mit der zuletzt berechneten Quotientenziffer multipliziert,
und die Ziffer "6" mit der vorletzten berechneten Quotientenziffer. Bei genauem Hinsehen sieht man,
das die Ergänzungsprodukte bei WB fein säuberlich untereinander stehen ! Echt klasse bei WB.
Besser kann man den (Kopf-)Rechengang nicht hinschreiben.

Die Methode ist schon -wie Du schreibst- "knifflig", aber im (beschränkten) Rahmen im Kopf durchaus machbar.
WB kann das sicher im Kopf. Die auftretenden Zahlen/Produkte sind nicht sehr groß und man kann jede
Zeile (die man wohl im Kopf machen sollte ) nach Hinschreiben der Quotientenziffer vergessen.
Man braucht sich also nicht viel zu merken.

Das "Abschreckende" ist vielleicht, dass man mit einem (zu klein gewählten) Roh-Rest ins Negative abgleiten kann,
da die Zerlegung einer Zahl in Reste nicht unbedingt eineindeutig ist.
(Z.B. Zeile bei WB, die mit dem Roh-Rest 322 beginnt : 274/90=2 r 94. Es könnte auch 3 r 4 sein !! )
Wenn man wieder "gut sieht", kann man Vorsorge für den Rohrest (944 oder 44) treffen.
Aber ich bezweifle stark, dass man das immer sieht (vielleicht Senna) !

Man kann es drehen und wenden wie man will, man muß negative Ziffern zulassen oder sich für eine
andere Divisions-Methode entscheiden.
Ferrol macht da ganz locker einfach weiter und rechnet mit negativen Ziffer ! Er konnte es offenbar (1913).

Soweit bin ich bei weitem noch nicht (und perfekt werde ich das wohl auch nicht schaffen.)
Nichtsdestotrotz halte ich diese Divisions-Methode für die "natürlichste"; erst recht, wenn man
sich für die "Kreuz-Multiplikation" entschieden hat. Abgesehen natürlich von den (relativ) einfachen Fällen wie
Divisor endet auf "9", Divisor=25, Divisor einstellig, etc.

Wie denkst Du über "negative" Ziffern beim Dividieren ?

grüße
zeta3
RetoCH
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Beitrag von RetoCH »

@Zeta3:

MIr fehlt es ein wenig an Disziplin, stelle gerade fest, dass ich nicht alle vier Grundrechenarten gleichmässig berücksichtige, bei grösseren Zahlen finde ich negative Ziffern nicht in nützlicher Zeit machbar. Ohne diese bleibt es ein Herumpröbeln.
:)

Ob ich wohl mal meinen Ehrgeiz vom Potenzieren auf das Dividieren anwenden soll?
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@RetoCH

Nein, nein Reto, lass Deinen Ehrgeiz ruhig beim Potenzieren !

Nach meinem Divisons-Exkurs wollte ich mich dem Radizieren nähern.
(Sozusagen, das nächste Kapitel bei Ron Dörfler. Oh wei, hinke ich zurück !)
Sofern Du dich auch mit dem "rückwärtigen Potenzieren" beschäftigst,
kannst Du mir sicherlich einige Tipps geben (wie bisher, ich zähle auf Dich.)

Das mit den 'negativen Ziffern' mußt Du so verstehen :

Sie haben mir (persönlich) sehr geholfen. Viele Leute dividieren ja gerne (im Kopf),
wenn die Endziffer des Divisors eine '9' ist. Nun, wenn man sich
79 als geschriebene 8|-1 vorstellt, und dann so argumentiert wie Ferrol das
tut, ist mir vieles klar. Wegen der 'negativen' Ziffer wird beim Rohrest addiert,
während bei den Zahlen 71, 72, 73 beim Rohrest abgezogen wird.
Beim ersten Fall kann man ruhig in Kauf nehmen, dass die nächste
Quotientenziffer eine '11' oder gar'12' sein kann, während bei den letzteren Fällen (71,72...)
durchaus eine negative Quotientenziffer sich ergeben kann. Man muß hierbei
nicht unbedingt von "verrückten Anpassungen" reden. Sie ergeben sich einfach in ganz natürlicher Weise !
(Das sehr gute an Ron Dörfler ist, dass er auf diesen Sachverhalt (negative Ziffer) nachdrücklich hinweist !
Das tat Ferrol zwar auch schon, aber offenbar mit wenig Erfolg.)

An dieser Stelle vielen Dank an PeterH und Senna1986, die mit ihren Beispielen viel
für mein Verständnis der Division beigetragen haben. Herzlichen Dank !

Ich möchte mich mit einer Methode 'revanchieren', die hier noch nicht genannt worden ist,
aber die Eingangsfrage unseres Mitglieds Gawd beantwortet : Division per Referenzzahl.
(in Anlehnung zur Multiplikation mit Referenzzahl, z.B. 87*98 oder 92*112 (Referenzzahl 100)).

Ja, so etwas gibt es. Ferrol bringt dazu einige Beispiele.
(Ich muss es noch eintickeln. Da Wochenende ist, schaff ich das sicherlich.)

Ob die Methode in neueren Büchern erklärt wird, weiß ich nicht.
Ich habe nur 3 Antiquitäten und den modernen Ron Dörfler.

Wahrscheinlich tun sie es, aber "Mathemagie", das ich neulich im Buchhandel gesehen habe, definitiv nicht.
Die Methode ist (natürlich) nicht sooooo einfach wie bei der Multiplikation, aber durchaus (Kopf-)machbar, wie ich finde.


viele grüße
zeta3
Zeta3
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Beitrag von Zeta3 »

@Gawd (ich hoffe, Du bist ab und zu noch online. Hier etwas zu Deiner Eingangsfrage.)

Hallo,

hier mein Beispiel zur "Division mit Referenzzahl".
Da der Name Schall und Rauch ist, erst ein paar kurze Worte zur "Multiplikation mit Referenzzahl".
(Damit keine Mißverständnisse auftreten, was ich meine.)
Manchmal nennt man das Verfahren auch anders, aber das soll uns hier nicht interessieren.

Es geht (schlicht) um die "Multiplikation von 98 mal 97 in 5 Sekunden".
Man rechnet die Aufgabe kurz mit der Referenzzahl 100 (manche nennen die Zahl 100 anders-läuft aber alles
auf ein und dasselbe hinaus). Der Rechengang geht (in etwa so) :
Man addiert die beiden Faktoren 98 und 97 und zieht die Refernzzahl 100 ab. (Der Vorgang läßt sich beschleunigen.ok.
98-3=95. Ich bevorzuge -aus anderen Gründen- trotzdem meine gegebene Formulierung !!!)
Man erhält 95, welche man mit der Referenzzahl 100 multipliziert (ergibt 9500, wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Nun schaut man sich die Abweichungen der Zahlen 97 und 98 zur Zahl 100 an. Es sind 2 und 3.
Da beide Zahlen (97, 98 ) "auf derselben Seite" bezgl. 100 liegen, muß man das Produkt 2*3 = 6 zu 9500 addieren.
Das sollte dann insgesamt 9506 ergeben. Fertig. (Im Kopf 5 Sekunden; Niederschrift 5 Minuten; ok).

Man kann das Verfahren ausdehnen auf 88*88 oder 87*106 usw.
Die Methode finde ich sehr gut. Sie wird auch oft erwähnt. Im Prinzip hängt die Methode davon ab, inwieweit man
bereit ist, den Radius um die Referenzzahl zu ziehen (üben, üben,...). Es liegt ja auf der Hand, je weiter man sich von der
auserkorenen Referenzzahl entfernt, desto geringer der Vorteil dieser Methode. Ich persönlich rechne sehr gerne mit
den Referenzzahlen 50, 100, 500. Das ist Geschmacksache, oder anders gesagt : Das ist der subjektive Aspekt der Methode.


Das das ganze auch rückwärts geht ("Division") hört man dagegen entschieden weniger oft,
obwohl es naheliegt danach zu fragen. Ich vermute, das es dafür 2 Gründe gibt,

1) Während bei 98 * 97 die Zahl 100 "fast" schon ins Auge springt, ist bei "Rückwärts" die Referenzzahl nicht
ganz so einfach zu sehen.

2) Oben muß man mit der Referenzzahl multiplizieren, jetzt muß man (natürlich !) damit dividieren.
(Naja, und beim "Dividieren" laufen ja viele Leute weg. Das ist mir mittlerweile klar geworden.
Löbliche Ausnahmen gibt es gottseidank immer.)

Nun zum konkreten Beispiel. Das Beispiel von Ferrol (1913) : 98257006 / 9938
wirkt nur gut, wenn man es hübsch untereinander schreibt. Das krieg ich erfahrungsgemäß hier nicht hin.
Deshalb ein kleineres Beispiel, das ich dann etwas "prosamäßig" erläutere. Die Ref-Zahl 100 ist gar zu einfach.
Ja, manchmal verdeckt sie Feinheiten und man wundert sich, dass es mit anderen Zahlen "nicht so richtig klappt".
Deshalb wähle ich eine andere Zahl. Die Übertragung auf 100 ist dann simpel.

Ich beginne (endlich- wird mancher schon sagen). Gestellt sei die Aufgabe :

38709 / 187.

(Ich darf bemerken, dass der Divisor n i c h t auf Endziffer '9' endet. Kann sein, dass das Ergebnis trotzdem dem ein oder
anderen ins Auge springt - aber die könne ja jederzeit wegklicken. Ich will ja n u r den Rechengang erläutern !).

Man sieht/stellt fest/beobachtet o.ä.(="Scharfblick"-ich habe hier auch Defizite !), das 200*200=40000 ist, also ca. 38709.
Gottseidank (so ist ja das Beispiel gewählt !) liegt der Divisor 187 "in der Nähe" von 200.
Ref-Zahl also 200. Das weitere geht nun so ab :

Man dividiert 38709 / 200 = 193 Rest 109. (Da man im wesentlichen nur durch 2 dividiert, geht das ziemlich flott.
Zur Panik besteht also kein Anlass. Den Rest 109 heben wir uns für später auf !!!)

Zu dem ganzzahligen Anteil 193 addieren wir jetzt die Ref-Zahl 200 (macht 393) und subtrahieren den Divisor 187.
(Kann man im Kopf kürzer fassen. ok. 193+13, siehe oben). Man erhält (oder besser gesagt : man sollte erhalten) : 206

Damit liegen wir schon ganz gut.

Nun zu den Abweichungen zur Ref-Zahl 200. Sie sind :
187 -> 13 und
206 -> 6

Da beide Zahlen auf verschiedenen Seiten zur Ref-Zahl 200 liegen, muß deren Produkt zum obigen Rest (=109) addiert werden.
(Bei der "Multiplikation mit Ref-Zahl" hat man ja in diesem Fall subtrahiert. Aber wir sind ja hier auf dem
"Rückwärtsweg". Also Addieren.)

Kurz : 6 mal 13 = 78. Dazu 109 (=obiger Rest) addiert ergibt : 187

Diese 187 sind aber genau 1 mal 187 (=Divisor). somit müssen wir diese 1 zur 206 addieren und erhalten als
Divisionsergebnis 207.

Somit ist 38709 / 187 = 207. Fertig.

Wenn ich mir die Methode genauer betrachte, finde ich sie ganz hübsch. Da die "Zahlen bei der gestellten Division
mitspielen müssen" (man denke ans Aufsuchen einer "schönen" Ref-Zahl) wird man in Praxis solche Aufgaben eher selten
finden. Aber mal Hand aufs Herz :
Wann bekommt man mal eine so schöne "Steilvorlage" (Frage) : "Weißt Du was 98 mal 97 ist ? Wenn ja, bitte in 5 Sekunden".


viele grüße
zeta3


PS :

Durch Zufall habe ich demletzt eine Divisionsaufgabe gesehen, die sogar Eingang in die wissenschaftliche
Literatur (Psychologie/Psychiatrie o.ä.) gefunden hat. Sie lautet : 67.916.288 / 8558
Einen kleinen Kommentar hierzu kann ich mir nicht verkneifen. Da Wochenende ist, schaff ich das noch.
RetoCH
Superbrain
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Registriert: Sa 18. Dez 2010, 14:37

Beitrag von RetoCH »

@Zeta3:

Heute habe ich den Dörfler wieder mal nach vorne genommen und verstehe auch, warum schon nur das erste Kapitel für mich sehr "konzentriert" erscheint. Das ist sehr viel Information in kompakter Form, das will erst mal mental "verdaut" sein.

Eben habe ich einige Tage Urlaub und hoffe, mein Kopfrechnen etwas zu üben und erweitern, wenn es mir gelingt, schreibe ich in den nächsten Tagen auch etwas zur Division auf.

RetoCH
Zeta3
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Registriert: Di 01. Feb 2011, 22:37
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Beitrag von Zeta3 »

Nachtrag zu meinem letzten Beitrag.

Auf der sehr guten Seite http://stepanov.lk.net habe ich folgenden Artikel gefunden :
"An examination of Salo Finkelstein", Weinland & Schlauch, 1937

Der psych. Test berichtet, dass man ihm (also Salo Finkelstein) die Divisionsaufgabe

67916288 / 8558 vorgelegt hat. Finkelsteins Ergebnis war korrekt und er brauchte ca. 3 Minuten für seine Antwort (lt.Bericht)

(Ob die Aufgabe an der Tafel stand oder ob sie nur mündlich gestellt war, sagt der Bericht nicht.
Auch über die Methode wie Finkelstein die Lösung gefunden hat, sagt der Bericht leider auch
nichts. Man kann also nur vermuten !)

Stellt man so eine Aufgabe Normalsterblichen werden wahrscheinlich 3 unterschiedliche Reaktionen eintreten :
Die erste Gruppe läuft verschreckt weg, die zweite versucht es (modulo Rechenfehler) und ist froh nur 3-4 mal langsamer
zu sein als die Koryphäe F. (wie ich), eine dritte (sehr kleine) wird vermutlich sagen "Das ist aber etwas lang mit 3 Min.".
Wahrscheinlich hat die zuletzt genannte Gruppe recht. (Mir persönlich macht das F. sehr sympathisch mit seinen 3 Min.)

Natürlich ist man mit einer nachträglichen Untersuchung und "unendlicher Bedenkzeit" super-super-schlau.
Alles Zeit, die F. natürlich nicht hatte. Einverstanden. Dennoch kann man sich mit der "Konjunktiv-Frage" beschäftigen :
"Wie hätte man es machen können", "Was wäre, wenn F. das und das getan hätte..." etc.

Nun, mit der obigen Methode hätte F. sich selbst getoppt. Kurz der Rechengang (Ref-Zahl 8000) :

67916288 / 8000 = 8489 Rest 4288 (das hätte F. aus dem Ärmel geschüttelt. Man teilt ja nur durch 8 )

8489 + 8000 - 8558 = 7931 (man rechnet kürzer : 8489 - 558) ( kein großes Problem für Rechenkünstler)

Jetzt die Abweichungen zur Ref-Zahl 8000 :
8558 - 8000 = 558 und
8000 - 7931 = 69

Das Produkt 69 * 558 = 38502 hätte F. ad hoc hingeschrieben. F. war ein absoluter Meister im Multiplizieren !!!
(Ich hätte hier mindestens 12 Sekunden verplempert.). Nun noch den obigen Rest 4288 zur Zahl 38502 addieren.
Das macht dann in Summa 42790. Bis hierhin also nix weltbewegendes.

Das 42790 = 5 mal Divisor(=8558) hätte F. sicher auch erkannt.
(Wenn man weiß, das die Multiplikation aufgeht, kann man das auch PI mal Daumen lösen : 5*8=40, etwas kleiner als 42,
6*8=48 schon zu groß für 42. Kann also nur 5 sein.)

Diese 5 addiert man nun zur oben gefundenen 7931 und erhält das Ergebnis : 7936


Das alles hätte F. geschafft. Klarer Fall also : F. kannte diese Methode nicht.

F. sagt lt. Bericht selbst, das er so gut wie nie dividiert. Nur ein einziges Mal hat er es vor Publikum gemacht.
Der Bericht erwähnt, das F. alles "multiplikativ" gelöst hat.

Ich vermute : F. hatte überhaupt k e i n Divisionsverfahren ! Wahrscheinlich kein einziges.

Das ist jetzt nicht abwertend oder gar negativ gemeint - sondern genau das Gegenteil.
F. brauchte die Division nicht. Er hatte sie schlicht und ergreifend nicht nötig, und hat die Division durch
"schnelle Multiplikation" ersetzt. Absolut hervorragend.

Nehmen wir z.B. mein kurzes Beispiel von oben : 38709 / 187 = 207
Der gesuchte Quotient ist etwas größer als 200. Ein Endzifferbetrachtung zeigt, dass der gesuchte Quotient
mit "7" enden muß. Somit sind die Zahlen 207, 217, 227 etc. "heiße Kandidaten".
"Schnell Multipliziert" ergibt das dann schon den richtigen Quotienten.
(Geht die Division nicht auf, entfällt natürlich die Endzifferbetrachtung. Man muß sich dann etwas vorsichtiger
"herantasten" und "geschickt" sein Ergebnis korrigieren.)

Auch bei dem gestellten Problem hat man ja (in null Komma nix) die Zahl 7931.
Da der gesuchte Quotient mit "6" oder "1" enden muß, sind "7931, 7936, ..oder 7921, 7926,.." "heiße Kandidaten".
"Schnell dividiert" (für mich eine "kleine Ewigkeit"; für F. ein "kleines Kinderspiel") ergäbe rasch 7936.
Da F. die Methode definitiv nicht kannte, wäre wohl seine "Startzahl" 7996 oder 7991 gewesen sein (meine Vermutung)

F. hätte demnach geschätzt, multipliziert, korrigiert, wieder multipliziert, korrigiert, etc.......

"Division" als "iterative Multiplikation" betrachtet ! Auch eine "Divisionsmethode". Und somit ein weiteres Verfahren !

Ob schnell ? - Ich meine, nein.
(Auf jeden Fall nix für mich. Da bin ich einfach zu langsam im Multiplizieren.)


Ich glaube, auf dem Gebiet der "Division" könnte man noch ein paar Lorbeeren ernten.
F. bei der Multiplikation zu schlagen (er konnte auch Zahlen in Summe von 4 Quadratzahlen zerlegen) stelle ich mir sehr,
sehr schwer vor. Multiplizieren und Quadratzahlen-Zerlegung waren einfach seine "Königsdisziplinen". Unschlagbar.
"Division" definitiv nicht; diese war ja für ihn "ersetzbar".

Immerhin steht im Bericht, dass er die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von 4 Quadratzahlen
(Lagrange hat bewiesen, dass das immer geht), "multiplikativ iterativ" gelöst hat. Wenigstens ein "Methoden-Hinweis"
im Bericht, auf dem man ja aufbauen kann/könnte/sollte etc.
Absolut phänomenal von F. Ich vermute (wieder einmal), F.'s zitierte Zeiten bezgl. Zerlegung sind schneller, als bei jemandem,
der alle Quadratzahlen im Kopf hat. Ob das je getestet worden ist, weiß ich nicht.

viele grüße
zeta3
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