Ich habe die Quadratzahlen bis 100x100 einmal zusammengestellt, vielleicht hat ja jemand Lust, sie zu lernen: http://www.naturundgeist.de/artikel/Default.aspx?ID=264
Bärline
Quadratzahlen bis 100x100
Fortsetzung:
Bei der Berechnung eines beliebigen Produktes zweistelliger ganzer Zahlen a und b (a<b) kann man die Quadratzahlen zu Hilfe nehmen.
a x b = (a + ((b-a)/2)))² - ((b-a)/2))²
Beispiel a = 13 b = 21 b-a = 8 also:
13 x 21 = 17² - 4² = 289 - 16 = 273
Die Mitte M der beiden Zahlen bestimmen, die Differenz D der beiden Zahlen zur Mitte und das Quadrat der Differenz von dem Quadrat der Mitte abziehen: a x b = M²- D²
Das geht nur so schön, wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind. Ansonsten muß man einen zusätzlichen Schritt einführen,
zum Beispiel:
13 x 22 = 2 x 13 x 11=(Multiplikation mit 11 ist besonders angenehm) 2 x 143 = 286
oder
13 x 22 = 26 x 22 : 2
oder
13 x 22 = 13 x (21 + 1) = 13 x 21 + 13
Bärline
Bei der Berechnung eines beliebigen Produktes zweistelliger ganzer Zahlen a und b (a<b) kann man die Quadratzahlen zu Hilfe nehmen.
a x b = (a + ((b-a)/2)))² - ((b-a)/2))²
Beispiel a = 13 b = 21 b-a = 8 also:
13 x 21 = 17² - 4² = 289 - 16 = 273
Die Mitte M der beiden Zahlen bestimmen, die Differenz D der beiden Zahlen zur Mitte und das Quadrat der Differenz von dem Quadrat der Mitte abziehen: a x b = M²- D²
Das geht nur so schön, wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind. Ansonsten muß man einen zusätzlichen Schritt einführen,
zum Beispiel:
13 x 22 = 2 x 13 x 11=(Multiplikation mit 11 ist besonders angenehm) 2 x 143 = 286
oder
13 x 22 = 26 x 22 : 2
oder
13 x 22 = 13 x (21 + 1) = 13 x 21 + 13
Bärline
Ich würde die Methode nach Trachtenberg benutzen:
Eine Zahl mit Zwei Ziffern: ab
Von rechts die erste Ziffer des Ergebnisses ist b², die zweite Ziffer ist 2*a*b plus eventuell den Übertrag von b². Die nächsten Ziffern setzen sich aus a² und dem Übertrag der vorherigen Operation zusammen. Fertig.
32:
2*2 = 4
2*3*2 = (1)2
3*3 = 9+1 = (1)0
1 = 1
Ergebnis: 1024
komplizierter: 49:
= (8) 1
= (8) 0
= (2) 4
= 2401
Ich weiß, etwas komplizierter, aber mit etwas Übung einfacher, als das ganze auswendig zu lernen....
Eine Zahl mit Zwei Ziffern: ab
Von rechts die erste Ziffer des Ergebnisses ist b², die zweite Ziffer ist 2*a*b plus eventuell den Übertrag von b². Die nächsten Ziffern setzen sich aus a² und dem Übertrag der vorherigen Operation zusammen. Fertig.
32:
2*2 = 4
2*3*2 = (1)2
3*3 = 9+1 = (1)0
1 = 1
Ergebnis: 1024
komplizierter: 49:
= (8) 1
= (8) 0
= (2) 4
= 2401
Ich weiß, etwas komplizierter, aber mit etwas Übung einfacher, als das ganze auswendig zu lernen....
Lerntechnik Praxis: http://bit.ly/8ONmbS
Hallo DocTiger,
es ging in meinem letzten Beitrag darum, zwei (möglicherweise) verschiede zweistellige ganze Zahlen a und b zu multiplizieren mit Hilfe von Quadratzahlen. Was Du anführst gilt ja nur für Quadratzahlen - es ist nichts anderes, als die Kreuzmultiplikation für zwei gleiche Zahlen. Wenn man die Quadratzahlen dann auch noch selbst berechnen soll, dann kann man auch lieber gleich die Kreuzmultiplikation für a x b anwenden.
Außerdem: warum nicht auch mal sich im Gewebe der Zahlen selbst aufhalten, statt wie in der Mnemotechnik üblich alles gleich in Bilder zu bringen, Das ist zwar sehr ökonomisch aber man kann ja auch mal versuchen Zahlen sich zu merken. Gerade bei dem Schema der 100 Quadratzahlen ist es sehr eindrucksvoll, das immer mehr zunehmende sich Weiten der Abstände zu erleben und andererseits das Schematische der letzten zwei Ziffern etc.
Die Welt der Zahlen ist schon ein geistiges Gewebe für sich.
Bärline
es ging in meinem letzten Beitrag darum, zwei (möglicherweise) verschiede zweistellige ganze Zahlen a und b zu multiplizieren mit Hilfe von Quadratzahlen. Was Du anführst gilt ja nur für Quadratzahlen - es ist nichts anderes, als die Kreuzmultiplikation für zwei gleiche Zahlen. Wenn man die Quadratzahlen dann auch noch selbst berechnen soll, dann kann man auch lieber gleich die Kreuzmultiplikation für a x b anwenden.
Außerdem: warum nicht auch mal sich im Gewebe der Zahlen selbst aufhalten, statt wie in der Mnemotechnik üblich alles gleich in Bilder zu bringen, Das ist zwar sehr ökonomisch aber man kann ja auch mal versuchen Zahlen sich zu merken. Gerade bei dem Schema der 100 Quadratzahlen ist es sehr eindrucksvoll, das immer mehr zunehmende sich Weiten der Abstände zu erleben und andererseits das Schematische der letzten zwei Ziffern etc.
Die Welt der Zahlen ist schon ein geistiges Gewebe für sich.
Bärline
Das mag schon sein, aber ich finde die Methode schneller, als sie mir auswendig zu lernen. Wenn man sie oft genug angewendet hat kann man die eh auswendig.
In der Trachtenbergsammlung gibt es auch Methoden, beliebig vielstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren. Dabei wird favorisiert, die beiden Faktoren aufzuschreiben und das Produkt daneben - ohne Hilfszahlen. Das geht auch komplett im Kopf, in gewissem Rahmen.
In der Trachtenbergsammlung gibt es auch Methoden, beliebig vielstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren. Dabei wird favorisiert, die beiden Faktoren aufzuschreiben und das Produkt daneben - ohne Hilfszahlen. Das geht auch komplett im Kopf, in gewissem Rahmen.
Lerntechnik Praxis: http://bit.ly/8ONmbS
Zu Robins Frage (aus einem anderen thread), wie man die Quadratzahlen am besten lernt:
1. die Zahlen aus den letzen beiden Ziffern unterscheiden sich, wenn man spaltenweise durchgeht, um
20 (1.Spalte), 40, 60, 80, 0, 20, 40, 60,80,0 (10.Spalte)
2. die Zahlen aus den letzten beiden Ziffern sind gleich, wenn man Zeile 1-5 auf Zeile 6-10 legt.
3. in Zeile 1-5 wiederholen sich nach dem Mittelpunkt 625 die Zahlen aus den letzten beiden Ziffern punktsymmetrisch zu 625: 529 576 625 676 729
wegen 2. gilt dies auch für Zeile 6-10 mit Mittelpunkt 5625.
4. Zeile 5 in Hunderterschritten (bis auf den letzten)
Zeile 10 in Zweihunderterschritten.
5. Ein Bonbon: 88x88= 7744
Gutes Lernen
Bärline
1. die Zahlen aus den letzen beiden Ziffern unterscheiden sich, wenn man spaltenweise durchgeht, um
20 (1.Spalte), 40, 60, 80, 0, 20, 40, 60,80,0 (10.Spalte)
2. die Zahlen aus den letzten beiden Ziffern sind gleich, wenn man Zeile 1-5 auf Zeile 6-10 legt.
3. in Zeile 1-5 wiederholen sich nach dem Mittelpunkt 625 die Zahlen aus den letzten beiden Ziffern punktsymmetrisch zu 625: 529 576 625 676 729
wegen 2. gilt dies auch für Zeile 6-10 mit Mittelpunkt 5625.
4. Zeile 5 in Hunderterschritten (bis auf den letzten)
Zeile 10 in Zweihunderterschritten.
5. Ein Bonbon: 88x88= 7744
Gutes Lernen
Bärline
Bärline hat geschrieben: 13 x 22 = 26 x 22 : 2
13 x 22 = 13 x (21 + 1) = 13 x 21 + 13
bei 13 x 22 = 13x21+13 kann man dann auch gleich 13x20+26 = 13x10x2 +26 = 286
Bei denen kleinen Zahlen bin ich mit 13x10x2 schneller. Und bei größeren Zahlen?
a x b = (a + ((b-a)/2)))² - ((b-a)/2))²
73*82 = 73*81 + 73
(73+4)^2 - (4)^2 = 77^2 - 16
(wenn man jetzt 77^2 auswendig könnte und nicht, 80*74+3^2 = 5920+9= 5929 rechnen müsste)
5929 - 16 = 5913 --> 72*82 = 5913 +73 = 5986
-------------------------------------
73*82 = 70 * 82
70*82 => 5740 + 3*82 = 5686
-------------------------------------
Fazit: Wenn ich 77^2 auswendig gekonnt hätte, wäre ich bei den hohen Multiplikationen damit wohl schneller gewesen.
Vielleicht lohnt sich ein Kompromiss, nämlich die oberen 50^2-99^2 auswendig zu lernen und damit die Methode zu verwenden.
..dann hat man aber sowieso schon fast alle auswendig gelernt, da man die niedrigen ohnehin meistens schon kann.. ^^
Hallo Phexx,
In dem Beispiel ganz oben, ist Deine Methode natürlich günstiger. Es sollte nur als Beispiel für "ungerade x gerade" dienen.
In den letzten zwei Rechenzeilen sind dir Schreibfehler unterlaufen.
Relativ schnell lassen sich die Quadrate zwischen 30 und 70 bestimmen, wenn man diegleiche Methode anwendet, wie unter "51^2 bis 59^2" auf folgender Seite beschrieben: http://www.mathematische-basteleien.de/ ... zahlen.htm dazu noch Beispiele.
46^2: 50-46= 4 4^2= 16 25-4=21 also
46^2= 2116
64^2: 64-50= 14 14^2= 196 25+14=39
64^2= 4096 (hier mußte die 1 von 196 übertragen werden (39+1=40)
Bärline
In dem Beispiel ganz oben, ist Deine Methode natürlich günstiger. Es sollte nur als Beispiel für "ungerade x gerade" dienen.
In den letzten zwei Rechenzeilen sind dir Schreibfehler unterlaufen.
Relativ schnell lassen sich die Quadrate zwischen 30 und 70 bestimmen, wenn man diegleiche Methode anwendet, wie unter "51^2 bis 59^2" auf folgender Seite beschrieben: http://www.mathematische-basteleien.de/ ... zahlen.htm dazu noch Beispiele.
46^2: 50-46= 4 4^2= 16 25-4=21 also
46^2= 2116
64^2: 64-50= 14 14^2= 196 25+14=39
64^2= 4096 (hier mußte die 1 von 196 übertragen werden (39+1=40)
Bärline