buchtipp

[Ulysses]

könnt ihr irgendein buch empfehlen

[JanvK]

http://www.recordholders.org/en/book/me ... alculation

Hier sind einige Bücher aufgeführt (leider alle in englischer Sprache). Das erste Buch ist das beste, was ich kenne. Das Buch von George Lane kann ich auch empfehlen.

[Ulysses]

danke für den tipp

[klstefan]

klingt interessant. Gibt es auch Bücher auf deutsch?

Grüße

[Boris]

Keine Guten.

[78]

Keine Guten.

hat sich mit der zeit etwas geändert?

[PeterH]

Wenn jemand das von Jan am ehesten empfohlene Buch in die deutsche Sprache übersetzt hat, schon Sonst nicht. Letzteres ist wohl eher der Fall.

[zeta24]

Auf Eure Empfehlung habe ich mir das Buch einmal angeschaut. In der Ausgabe von 1993 schreibt RW Doerfler er auf Seite 19, Kapitel Primitives, dass sich die Vorperiode einer rationalen Zahl aus der höchsten Potenz von 2 und 5 ergibt. Leider schreibt er weiter:

Unfortunately, there is no general rule for determining the recurring period of repeating decimals...

Dies ist leider falsch. Denn jeder Nenner ist ein Teiler einer Zehnerpotenz minus 1. Die Periodenlänge und die genaue Peride ist einfach berechenbar.

[PeterH]

Hallo zeta24,

das Buch ist nicht selten mit Tippfehlern, teilweise auch faktischen Fehlern belastet; die von Lesern dieses Buches bislang bemängelten Stellen sind jedoch auf Ronald W. Doerflers Internetseite in korrigierter Fassung zu finden.

http://www.myreckonings.com/Dead_Reckon ... koning.htm

Auf Seite 20 schreibt Doerfler: "In addition, the recurring period for numbers which are factors of 9, 99, 999, etc. will equal the number of nines in the lowest such multiple." Da ist die von Dir beschriebene Regel
Abgesehen davon zielt das Buch ja auf im Kopf handhabbare Berechnungsmethoden. Wenn Du gefragt wirst, was die Periodenlänge von 1 / 49 ist, wirst du bestimmt nicht auf die Idee kommen, dass 10^42-1, also die Zahl mit 42 Neunen, das kleinste Vielfache von 49 ist, welches nur aus Neunen besteht, oder Zwar ändert das nichts daran, dass Dein Zitat von Doerfler nicht korrekt ist, aber der Versuch, die Periodenlänge im Kopf auf "Deine" Methode zu berechnen, wird in jedem Falle scheitern, oder? Frage: Periodenlänge von 1/239?

Viele Grüße,
Peter

[zeta24]

Periodenlänge von 1/239

7

[zeta24]

Hallo PeterH

Doerfler versucht hier (S.20) an mehreren Beispielen die Periodenlänge und die Periode zu bestimmen. Am Beispiel 1/t^n wird die Periodenlänge explizit als Ergebnis ausgewiesen. Ebenso für s/3^n. Das zeigt: Es geht ihm also doch um mehr als nur "im Kopf handhabbare Berechnungsmethoden". Aber warum gehst Du davon aus, dass man die Periodenlänge nicht im Kopf berechnern kann? Lass Dich nicht von den vielen 9ern erschrecken.

Die ersten Seiten haben mir trotzdem ganz gut gefallen.

[zeta24]

Wenn Du gefragt wirst, was die Periodenlänge von 1 / 49 ist, wirst du bestimmt nicht auf die Idee kommen, dass 10^42-1, also die Zahl mit 42 Neunen, das kleinste Vielfache von 49 ist

Stimmt. Zu einer Zahl wie 27 findet man noch leicht einen Faktor X, so dass 27*x = 9..9. Raten und probieren hilft bei einer Zahl wie 49 oder 167 nicht mehr weiter. Auch werden die Zahlen gross und unhandlich. Da hilft etwas Gruppentheorie. Wir betrachten das Problem in (Z/nZ)*, also der primen Restklassengruppe modulo n. Für n=49 bleiben die Zahlen immer zweistellig. Die Periodenlänge ist einfach die Ordnung der Restklasse 10 modulo 49. Und wir wissen ja auch, dass ord(10) ein Teiler der Gruppenordnung also phi(49)=42 sein muss. Damit hat man die Periodenlänge schnell bestimmt.

[PeterH]

Die Periodenlänge von 1/239 kann man durch Ausrechnen einfach bestimmen, aber einfach so auf 7 zu kommen scheint mir momentan noch ein bisschen problematisch. Hast Du den Taschenrechner bemüht? Dass ich momentan noch etwas daran zweifle, dass man das einfach so im Kopf ausrechnen kann (ohne die Ziffern der Dezimaldarstellung von 1/239 zu berechnen, sondern "einfach so"), liegt daran, dass Du etwas gesagt hast - was mir in Mathe eigentlich nie passiert -, wovon ich noch nichts gehört habe Kannst Du das mit primen Restklassengruppen, der Gruppenordnung und dem Zusammenhang von all dem mit Periodenlängen vielleicht ausführlicher erklären? (Periodenlänge = Ordnung der Restklasse 10 modulo n, aber was bedeutet das?!) Ich wäre Dir sehr dankbar

[zeta24]

aber einfach so auf 7 zu kommen scheint mir momentan noch ein bisschen problematisch

das ganze geht ohne TR und ist auf oberstufenniveau gut zu verstehen. [bitte schlag die Begriffe evtl in der Wikipedia nach: Gruppe, Ordnung, Eulersche Phi-Funktion. Prime Restklassengruppe, Primitivwurzel, etc.]

Die prime Restklassengruppe mod 239 ist die Menge {1,2,3,...,238} mit der Multiplikation. Gerechnet wird mod 239, zum beispiel 24*10=1. Die Eulersche Phi-Funktion ist die Gruppenordnung, also Phi(239)=238 [allg. phi(p)=p-1, oder phi(p^k)=p^(k-1) * (p-1), oder für teilerfremde zahlen phi(m*n)=phi(m)*phi(n).]

die periodenlänge ist die ordnung von 10, und das ist ein teiler der gruppenordnung . nach definition ist die ordnung von 10 die ordnung der von dem element 10 aufgespannten untergruppe, aber im grunde suchen wir nur die kleinste 10er potenz, so dass 10^i=1 ist.

nach dem langen geschwafel, die kurze rechnung, jetzt geht es los:
-----------
die periodenlänge ist ein teiler von phi(239) = 2 * 7 * 17
wegen 10^6 = (10^3)^2 = 44^2 = 24 ist die periodenlänge also 7. fertig!
-----------

[PeterH]

Ich habe sogar schon zwei Semester Mathe studiert, war besser als alle Studenten des Semesters in den jeweiligen Veranstaltungen Naja, Gruppentheorie ist mir da aber noch nicht untergekommen, war nämlich Analysis I und II, deswegen danke für Deine Antwort, zeta24

Eine Frage dennoch: Die kleinste 10er-Potenz mit 10^n = 1 muss dennoch durch Ausprobieren gefunden werden, oder? Dass Du mit 10^7 = 10^6 * 10 angefangen hast, war doch einfach nur die erste "Schätzung". Ebenso hätte es ja auch sein können, dass man 10^17 mod 239 berechnen müsste, um festzustellen, dass 17 die Periodenlänge ist. (Bei Zahlen den Konjunktiv zu verwenden, ist blöd, aber Du weißt, was ich meine )
Und wie machst Du das bei 1/97?

[zeta24]

n=239. Die Kandidaten sind 2, 7, 2*7, 17, 2*17, 7*17, 238. L=2 geht nicht. Der zweite Kandidat L=7 führt zum Ziel. das war also keine schätzung, sondern ein systemisches vorgehen.

n=97. phi(97)=2^5*3. wir testen: 10^2=3, 10^4=9, 10^8=81, 10^16=62, 10^32=61. keine eins in sicht, die drei ist also mit dabei. wir potenzieren die letzten zwischenergebnisse mit 3 oder quadrieren iterativ von 10^3: 27, 50, 75, -1, +1. periodenlänge ist 96. fertig.

zum vergleich 'deine' methode:
2: ist 99 durch 97 teilbar? - nein
3: ist 999 durch 97 teilbar? - nein
4: ist 9999 durch 97 teilbar? - nein
....
96 ist 999999999999999999999999999999.....9 durch 97 teilbar? - ja.
kann man machen, muss man aber nicht.

die dezimalentwicklung rationaler zahlen ist normalerweise stoff aus ana I.

[PeterH]

1. Ich habe niemals vorgeschlagen, die ganzen 9er-Zahlen auszuprobieren. Wäre ja ein wenig schwachsinnig. Ich habe nur gefragt, ob es auch einfacher geht; Du hast mir ja jetzt eine andere Methode erklärt.
2. Dass es erst bei i=17 hätte sein können, war nur ein Hinweis darauf, dass man letztendlich ja doch ausprobieren muss, wie Dein Beispiel n=97 ja zeigt. Ich dachte nur, dass es hätte sein können, dass auch das systematische Ausprobieren entfällt, wenn man entsprechende mathematische Konstrukte bemüht.
3. Die Dezimalentwicklung rationaler Zahlen war bei der Ana I-Vorlesung, die ich besucht habe, nur insofern Stoff, als dass dargelegt wurde, wie rationale Zahlen in beliebigen Basen dargestellt werden können. Mir ist die Euler'sche Phi-Funktion im Zusammenhang mit Wettbewerbsmathematik bereits untergekommen, aber nicht in diesem Kontext.

Viele Grüße,
Peter

[Murmeltier]

Kennt jemand das Buch von Arthur Benjamin und Michael Shermer "Mathe-Magie"? Immherhin ist es billig...

[Bärline]

Hallo Murmeltier,

Danke für den Hinweis! Das Buch ist hervorragend, didaktisch nicht zu überbieten. Ich finde es sehr viel besser als "Dead Reckoning". Der eine der Autoren ist promovierter Mathematiker und Mathe-Magier, weiß also wovon er redet.

LG Bärline

[PeterH]

Ist das Buch vom Inhaltlichen her besser als "Dead Reckoning"? Oder stellt es weniger dar, ist dafür didaktisch ansprechender? Bisher bin ich auf noch kein Buch gestoßen, das "D. R." im Hinblick auf Masse und Qualität der dargestellten Methoden überboten hat