Berechnen der 3. Wurzel einer sechsstelligen Zahl
Beispiel: 778.688
1. Schritt: Man nehme die ersten drei Stellen und bestimme die am nächsten gelegene 3. Wurzel anhand folgender Tabelle:
1----1
2----8
3---27-->(9x3)
4---64-->(16x4)
5--125-->(25x5)
6--216-->(36x6)
7--343-->(49x7)
8--512-->(64x8)
9--729-->(81x9)
Lösung: 9
2. Schritt : Man überprüfe die letzte Ziffer der Zahl. Ist es eine 0,1,4,5,6,9, so bleibt diese erhalten. Andernfalls nehme man die korrespondierende Zahl zur 10:
0----0
1----1
2----8
3----7
4----4
5----5
6----6
7----3
8----2
9----9
Lösung: 2
3. Schritt: Die beiden Lösungen ergeben die gesuchte Zahl.
Lösung: 92
Berechnen der 3. Wurzel einer sechsstelligen Zahl
Die Methode erscheint mir recht ungenau zu sein. Durch die fehlenden Kommastellen kann der Unterschied zwischen der eigentlichen Zahl und der gefundenen doch recht groß werden.
Um das Beispiel von Njord zu nehmen: 945837
Das Ergebnis währe nach dieser Rechnung 93.
Wenn man dann 93^3 rechnet kommt man allerdings auf ein Ergebnis von 604357. Der Unterschied ist doch recht groß wie ich finde
Mit dem Taschenrechner komm ich außerdem auf ein Ergebnis von etwa 98(98^3=941192).
Oder hab ich was falsch gemacht ?
Achso bevor ichs vergesse: schönes Forum habt ihr hier
Um das Beispiel von Njord zu nehmen: 945837
Das Ergebnis währe nach dieser Rechnung 93.
Wenn man dann 93^3 rechnet kommt man allerdings auf ein Ergebnis von 604357. Der Unterschied ist doch recht groß wie ich finde
Mit dem Taschenrechner komm ich außerdem auf ein Ergebnis von etwa 98(98^3=941192).
Oder hab ich was falsch gemacht ?
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PeterH
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Methode mit Nachkommastellen
Hallo,
eine Methode, bei der man "in einem Rechenschritt" Ziffer für Ziffer sein Ergebnis erhält, kenne ich zwar nicht, aber weil man ja Quadratwurzeln beliebig genau berechnen kann, ist es möglich, eben das auszunutzen, um Näherungswerte für dritte Wurzeln zur berechnen.
Beispiel: Dritte Wurzel aus 123456.
Zuerst berechne ich die dritte Wurzel von 123 auf insgesamt vier Stellen. Dazu nehme ich den einfachsten einstelligen Näherungswert, also die 5. Dann verwende ich eine Formel, die so aussieht:
a = (x + Sqr[(4*n - x^3) / (3*x)]) / 2.
Dabei ist x die erste Näherung, n die Ziffernfolge aus der ursprünglichen Zahl (also 123) und a das Ergebnis. Mit dieser Formel erhält man in diesem Fall also
a = (5 + Sqr[(4*123 - 5^3) / (3*5)]) / 2 = (5 + Sqr(24,4667)) / 2.
Die Quadratwurzel wird nur auf 4 Stellen benötigt, das geht schnell.
a = (5 + 4,946) / 2 = 4,973 erhält man also als dritte Wurzel aus 123.
Da die ursprüngliche Zahl 6 Stellen hat, hat die dritte Wurzel zwei Vorkommastellen; wenn man das Komma richtig setzt, kommt 49,73 heraus. Mit diesem Näherungswert rechnet man jetzt weiter, und zwar unter Benutzung einer weiteren Formel, nämlich:
a = (2 * Sqr(n / x) + x) / 3, mit den gleichen Bezeichnungen wie oben.
Die Division sollte maximal bis zur 10. Stelle ausgeführt werden, weil ich die Erfahrung gemacht habe, dass 8 Stellen als Endergebnis die maximale, aber auch einigermaßen wahrscheinliche Genauigkeit sind.
123.456 / 49,73 = 2482,525638. Daraus die Wurzel (auf 8 Stellen) ist 49,824950. Insgesamt ist also
a = (2 * 49,824950 + 49,73) / 3 = 49,793300 als Endergebnis. Verglichen mit dem eigentlichen Wert 49,793279 ist das zwar ziemlich schlecht, aber das liegt zum einen daran, dass die Kubikwurzel aus 123000 von der von 123456 relativ weitaus verschiedener ist als die von 987000 und 987456, was man sich ja leicht klarmachen kann. Je besser die verwendeten Zwischennäherungen sind, desto besser ist natürlich auch das Endergebnis. Man könnte, wenn man will, die zweite Formel durchaus noch ein zweites Mal anwenden, und zwar mit dem letzten Näherungswert. Das Ergebnis wäre in diesem Falle dann (wenn man von 49,793300 ausgeht)
49,7932798467425... Der tatsächliche Wert ist
49,793279846742520051...
Diese Näherung ist also extrem gut. (Warum? Beide Formeln haben eine kubische Konvergenz.)
Viel Spaß
eine Methode, bei der man "in einem Rechenschritt" Ziffer für Ziffer sein Ergebnis erhält, kenne ich zwar nicht, aber weil man ja Quadratwurzeln beliebig genau berechnen kann, ist es möglich, eben das auszunutzen, um Näherungswerte für dritte Wurzeln zur berechnen.
Beispiel: Dritte Wurzel aus 123456.
Zuerst berechne ich die dritte Wurzel von 123 auf insgesamt vier Stellen. Dazu nehme ich den einfachsten einstelligen Näherungswert, also die 5. Dann verwende ich eine Formel, die so aussieht:
a = (x + Sqr[(4*n - x^3) / (3*x)]) / 2.
Dabei ist x die erste Näherung, n die Ziffernfolge aus der ursprünglichen Zahl (also 123) und a das Ergebnis. Mit dieser Formel erhält man in diesem Fall also
a = (5 + Sqr[(4*123 - 5^3) / (3*5)]) / 2 = (5 + Sqr(24,4667)) / 2.
Die Quadratwurzel wird nur auf 4 Stellen benötigt, das geht schnell.
a = (5 + 4,946) / 2 = 4,973 erhält man also als dritte Wurzel aus 123.
Da die ursprüngliche Zahl 6 Stellen hat, hat die dritte Wurzel zwei Vorkommastellen; wenn man das Komma richtig setzt, kommt 49,73 heraus. Mit diesem Näherungswert rechnet man jetzt weiter, und zwar unter Benutzung einer weiteren Formel, nämlich:
a = (2 * Sqr(n / x) + x) / 3, mit den gleichen Bezeichnungen wie oben.
Die Division sollte maximal bis zur 10. Stelle ausgeführt werden, weil ich die Erfahrung gemacht habe, dass 8 Stellen als Endergebnis die maximale, aber auch einigermaßen wahrscheinliche Genauigkeit sind.
123.456 / 49,73 = 2482,525638. Daraus die Wurzel (auf 8 Stellen) ist 49,824950. Insgesamt ist also
a = (2 * 49,824950 + 49,73) / 3 = 49,793300 als Endergebnis. Verglichen mit dem eigentlichen Wert 49,793279 ist das zwar ziemlich schlecht, aber das liegt zum einen daran, dass die Kubikwurzel aus 123000 von der von 123456 relativ weitaus verschiedener ist als die von 987000 und 987456, was man sich ja leicht klarmachen kann. Je besser die verwendeten Zwischennäherungen sind, desto besser ist natürlich auch das Endergebnis. Man könnte, wenn man will, die zweite Formel durchaus noch ein zweites Mal anwenden, und zwar mit dem letzten Näherungswert. Das Ergebnis wäre in diesem Falle dann (wenn man von 49,793300 ausgeht)
49,7932798467425... Der tatsächliche Wert ist
49,793279846742520051...
Diese Näherung ist also extrem gut. (Warum? Beide Formeln haben eine kubische Konvergenz.)
Viel Spaß
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PeterH
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Mir ist ein Fehler unterlaufen: Die zweite benutzte Formel hat nur quadratische Konvergenz. Deswegen ist auch klar, warum die Anzahl der richtigen Stellen von 4 auf 8 geht, sich also verdoppelt... 
Und das Zweite ist, dass man bei Benutzung der ersten Formel statt die dritte Wurzel aus 123 zu berechnen die dritte Wurzel auf 123,5 berechnen kann. Da man nämlich mit 4 multipliziert, kann man die letzten drei Stellen der sechsstelligen Zahl auf 250er "runden" und dann die erste Formel benutzen. Macht man das, erhält man als Näherung für "dritte Wurzel(123,5)": 4,980. Dann liefert die zweite Näherungsformel als Endergebnis: 49,793280. Tada!
Und das Zweite ist, dass man bei Benutzung der ersten Formel statt die dritte Wurzel aus 123 zu berechnen die dritte Wurzel auf 123,5 berechnen kann. Da man nämlich mit 4 multipliziert, kann man die letzten drei Stellen der sechsstelligen Zahl auf 250er "runden" und dann die erste Formel benutzen. Macht man das, erhält man als Näherung für "dritte Wurzel(123,5)": 4,980. Dann liefert die zweite Näherungsformel als Endergebnis: 49,793280. Tada!