Berechnen des Sinuswertes einer Zahl

[Christoph-Ulrich]

Hallo zusammen,
da ich mich bisher nur auf das Potenzieren von zweistelligen Zahlen beschränkt habe, habe ich mal versucht, mir ein neues Wissensgebiet
anzueignen. Leider findet man ja im Internet nicht allzu viel über Methoden, die auf das Kopfrechnen zugeschnitten sind - wär ja auch zu einfach, man muss u.a. eigene Algorithmen entwickeln . Aber ich brauche eine geeignete Basis, um starten zu können.
Daher: weiss jemand etwas zum berechnen des Sinus einer Zahl?

Wäre super, wenn einer einen Link hat oder sich schon selbst damit beschäftigt hat.

Ciao

[Janko]

kann dir maximal die Taylorreihe für den sinus empfehlen, aber das könnte schwer werden

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe


für den
sin(x) lautet sie
=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!...
=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040....
x ist dabei ein Winkel im Bogenmaß (Das heißt 2Pi entsprechen 360°)


je weiter man die Reihe aufschreibt, desto mehr sieht das wie eine sinusfunktion aus.
Ich hatte das glaub ich mal bis x^17 geführt und hatte 5 Sinusperioden erkannt. Wegen der Symetrie brauchst du ja aber eigentlich nur 1/4 Periode, also von 0° bis 90°=0 bis 1/2 Pi
Wenn du das nur bis x^7 machst, müsste das ausreichen um 0°-90° sehr genau zu zeichnen.

Dann kannst du das Rechenverfahren noch weiter verbessern:
Du brauchst eigentlich auch nur bis ungefähr 60° zu rechnen.
Für 60°bis 90° nimmst du dann die Taylorreihe für die Kosinusfunktion.
Dann reicht es auch den Sinus mit einem kürzeren Teil der Taylorreihe zu berechnen:
sin(x)=x-x^3/6

Der Kosinus für alle Werte von 60°-90° wären dann ungefähr:
cos(x)=1-(x-Pi/2)^2/2
ich hab hier nicht x sondern (x-Pi/2) geschrieben, weil ja die Kosinusfunktion um 90° verschoben werden muss, damit sie wie eine Sinusfunktion aussieht und für unsere Berechnung taugt.

kannst es mal ausprobieren. Zum Beispiel bei diesem link
http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html
tippst ein
sin(x)
x-x^3/6
1-(x-Pi/2)^2/2
und du siehst das es ungefähr ausreicht


Also ich hatte mich damit nur mal kurz beschäftigt, weil ich letzten Sommer die Tangensfunktion berechnen wollte:
Ich hatte damals vor mit Hilfe von "Winkel Sonne überm Horizont", "Winkel zwischen Sonne und Wolke" und "Abstand des Wolkenschattens zu mir" die Höhe der Wolke zu berechnen, naja so lange ich einen Taschenrechner dabei hatte ging das alles

[Janko]

Ajo und falls noch jemand einen einfachen Weg sucht einen Winkel von Grad in Bogenmaß und umgekehrt umzurechnen. Ich bin gestern auf folgenden Weg gestoßen.

360° im Gradmaß entsprechen ja 2Pi im Bogenmaß
Pi ist nun aber eine nichtrationale Zahl. Das heißt man kann sie nicht in einem Bruch darstellen. Deshalb ist es beim Kopfrechnungen mit dieser Zahl schwer ein aussreichend genaues Ergebnis zu finden.

Sehr gut eignet sich nun folgendes Verhältnis:
Winkel in Bogenmaß: Winkel in Grad=7:400
Es ist ein sehr einfaches Verhältnis und hat nur 0,26% Abweichung vom richtigen Ergebnis.

Beispielrechnung: Der Winkel ist 80° und man will ihn in Bogenmaß umrechnen
Dann rechnet mann
1)80:4=20
3)20*7=140
2)zuletzt verschiebt man das komma 2 Stellen nach links, man hat also 1,4
Der Winkel im Bogenmaß ist also 1,4

Das exakte Ergebnis ist ungefähr (80°/360°*2Pi=) 1,3962 und unterscheidet sich nur sehr gering von unserem.

und solange man bei kleinen Winkeln (0° bis 90°) bleibt, ist das Ergebnis auch immer recht genau.

[Jens]

Hallo,

wenn Du Dich mit diesem Thema ausführlich beschäftigen willst, dann kann ich Dir nur "Dead Reckoning - Calculating without instruments" von Ronald W. Doerfler empfehlen. Das Buch gibt es leider nur auf Englisch und ich glaube nicht, daß es absehbarer Zukunft eine Übersetzung gibt. Angefangen bei den "normalen" Rechentricks geht es um Wurzelziehen, Potenzieren, Logarithmen, trigonometrische Funktionen und deren Inverse. Für die Sinusfunktion findest Du dort z.B. die folgende Anleitung für das Kopfrechnen:

Zunächst mußt Du ein paar Werte auswendig können:

sin 0° = 0
sin 10° = 0.1736
sin 20° = 0.3420
sin 30° = 0.5
sin 40° = .6428
sin 50° = 0.7660

Für Winkel zwischen 0° und etwa 50° gehst Du dann wie folgt vor,
Du zerlegst den Winkel in den nächstgelegenen Zehner und den Rest
Winkel 34° = 30° + 4°. (d = 34, a = 30, b = 4) und rechnest dann

1000 sin(d) = 1000 sin(a) + b/10 * (174 - a*d/40)

Im Bereich von 0° bis etwa 50° erhälst Du somit die Werte auf etwa 4 Nachkommenstellen genau.

Der Wert für b sollte möglichst klein sein. So solltest Du 28° in 30° und -2° zerlegen. Hier noch eine Beispielrechnung:

sin(34°) -> d=34, a=30, b=4

1000 * sin(30) = 500 (auswendig gelernter Wert, siehe oben)

b/10 * (174 - a*d/40) = 0.4 * (174 - 30*34/40) = 0.4 * (174 - 3/4*34) =
0.4 * (174-25.5) = 0.4 * 148.5 = 59.4

Somit ist sin(34°) etwa 0.5594. Der wahre gerundete Werte liegt bei 0.5592. Ist doch genau genug, oder?

- Jens Gutzeit